Paragrafo 5.6 applicazione dell'analisi statica ai sistemi di corpi
Sottoparagrafo 5.6.1 mensola
Si consideri una semplice trave incastrata ad un estremitร e soggetta ad una forza verticale all'estremo libero. Nella figura successiva viene illustrato lo schema di partenza e il diagramma di corpo libero ottenuto rimuovendo l'incastro ed applicando le relative componenti di reazione vincolare (m=3).
HA=0,VAโF=0,MAโFl=0.
Condizioni esprimibili in forma matriciale ottenendo
[100010001]โ[B][HAVAMA]โr+[0โFโFl]โf=[000].
Il sistema รจ evidentemente isostatico e il calcolo delle componenti di reazione vincolare fornisce
HA=0,VA=F,MA=Fl.
Sottoparagrafo 5.6.2 trave appoggiata
Si consideri una trave vincolata nella maniera indicata in figura e soggetta ad una forza verticale in mezzeria. La stessa figura riporta anche il diagramma di corpo libero ottenuto rimuovendo la cerniera e il carrello facendo seguire l'applicazione delle relative componenti di reazione vincolare (m=3).
HA=0,VA+VBโF=0,VBlโFl/2=0.
Condizioni esprimibili in forma matriciale come
[10001100l]โ[B][HAVAVB]โr+[0โFโFl/2]โf=[000].
Anche in questo caso la semplice ispezione della matrice statica consente di stabilire l'isostaticitร del sistema. Il calcolo delle componenti di reazione vincolare fornisce:
HA=0,VA=F/2,VB=F/2.
Si riportano le istruzioni MATLABยฎ utilizzabili per il calcolo delle reazioni vincolari incognite.
% vettore delle risultanti = % [orizzontale; verticale; momento] R = zeros(3,1); % funzione per il calcolo del momento momento = @(X0, X, Carico)... -Carico(1)*(X(2)-X0(2))+Carico(2)*(X(1)-X0(1)); % coordinate dei punti sui quali sono applicati i carichi syms L; A = [0; 0]; B = [L; 0]; C = [L/2; 0]; % scelta del polo POLO = A; % per ogni punto si assegna il vettore Carico = [F1; F2; M] % e si sommano i contributi alla risultante syms HA VA; CaricoA = [HA; VA; 0]; R = R + CaricoA; R(3) = R(3) + momento(POLO, A, CaricoA); R syms VB; CaricoB = [0; VB; 0]; R = R + CaricoB; R(3) = R(3) + momento(POLO, B, CaricoB); R syms F; CaricoC = [0; -F; 0]; R = R + CaricoC; R(3) = R(3) + momento(POLO, C, CaricoC); R % equazioni di equilibrio eqns = [ R(1) ==0, R(2) == 0, R(3)==0 ]; % matrice statica e vettore dei carichi assegnati [B,b] = equationsToMatrix(eqns, [HA, VA, VB]); % gradi di libertร , n % gradi di vincolo, m [n,m] = size(B); % calcolo del rango di B r = rank(B); % se il sistema รจ staticamente determinato si calcola la soluzione if and(r == min(m,n), m == n) x = linsolve(B,b); end HA = x(1) VA = x(2) VB = x(3)
Sottoparagrafo 5.6.3 portale
Si consideri il seguente portale soggetto ad una forza verticale applicata nella mezzeria del traverso. I vincoli (m=3) sono applicati al piede dei ritti e la loro rimozione e la successiva applicazione delle componenti di reazione vincolare conduce al diagramma di corpo libero riportato in figura insieme allo schema assegnato.
HB=0,VAโF=0,MAโVAl+Fl/2=0.
Equazioni che corrispondono alla seguente forma matriciale del sistema
[001100โl10]โ[B][VAMAHB]โr+[0โFFl/2]โf=[000].
Il sistema รจ isostatico e la soluzione del sistema lineare fornisce
VA=F,MA=Fl/2,HB=0.
Si riportano le istruzioni MATLABยฎ utilizzabili per il calcolo delle reazioni vincolari incognite.
% vettore delle risultanti = % [orizzontale; verticale; momento] R = zeros(3,1); % funzione per il calcolo del momento momento = @(X0, X, Carico)... -Carico(1)*(X(2)-X0(2))+Carico(2)*(X(1)-X0(1)); % coordinate dei punti sui quali sono applicati i carichi syms L; A = [0; 0]; B = [L; L/2]; C = [L/2; L]; % scelta del polo POLO = C; % per ogni punto si assegna il vettore Carico = [F1; F2; M] % e si sommano i contributi alla risultante syms VA MA; CaricoA = [0; VA; MA]; R = R + CaricoA; R(3) = R(3) + momento(POLO, A, CaricoA); R syms HB; CaricoB = [HB; 0; 0]; R = R + CaricoB; R(3) = R(3) + momento(POLO, B, CaricoB); R syms F; CaricoC = [0; -F; 0]; R = R + CaricoC; R(3) = R(3) + momento(POLO, C, CaricoC); R % equazioni di equilibrio eqns = [ R(1) ==0, R(2) == 0, R(3)==0 ]; % matrice statica e vettore dei carichi assegnati [B,b] = equationsToMatrix(eqns, [VA, MA, HB]); % gradi di libertร , n % gradi di vincolo, m [n,m] = size(B); % calcolo del rango di B r = rank(B); % se il sistema รจ staticamente determinato si calcola la soluzione if and(r == min(m,n), m == n) x = linsolve(B,b); end VA = x(1) MA = x(2) HB = x(3)
Sottoparagrafo 5.6.4 sistema a due corpi
Si consideri il seguente sistema costituito da due corpi connessi mediante una cerniera interna. La rimozione di tutti i gradi di vincolo (m=6) e la successiva applicazione delle componenti di reazione vincolare conduce al diagramma di corpo libero riportato in figura insieme allo schema assegnato.
HA+HB=0,VA+VBโF=0,VB2lโFl=0,
e quelle per il corpo BC (polo in D)
HCโHB+F=0,VCโVB=0,HBl+VC2l=0.
Equazioni riscrivibili nella seguente forma matriciale
[1010000101000002l0000โ1010000โ10100l002l]โ[B][HAVAHBVBHCVC]โr+[0โFโFlF00]โf=[000000].
Per il calcolo del rango della matrice statica si possono utilizzare le seguenti istruzioni MATLABยฎ.
syms l B = [ 1 0 1 0 0 0; 0 1 0 1 0 0; 0 0 0 2*l 0 0; 0 0 -1 0 1 0; 0 0 0 -1 0 1; 0 0 l 0 0 2*l ] rango = rank(B)
syms l F B = [ 1 0 1 0 0 0; 0 1 0 1 0 0; 0 0 0 2*l 0 0; 0 0 -1 0 1 0; 0 0 0 -1 0 1; 0 0 l 0 0 2*l ] f = [0; -F; -F*l; F; 0; 0] r = linsolve(B, -f)
HA=F,VA=F/2,HB=โF,VB=F/2,HC=โ2F,VC=F/2.