Solid Mechanics - applicazione dell'analisi statica ai sistemi di corpi

Paragrafo 5.6 applicazione dell'analisi statica ai sistemi di corpi

Sottoparagrafo 5.6.1 mensola

Si consideri una semplice trave incastrata ad un estremità e soggetta ad una forza verticale all'estremo libero. Nella figura successiva viene illustrato lo schema di partenza e il diagramma di corpo libero ottenuto rimuovendo l'incastro ed applicando le relative componenti di reazione vincolare (\(m=3\)).

L'analisi coinvolge solo un corpo rigido, pertanto è possibile scrivere 3 equazioni di equilibrio (\(n=3\)) che, assumendo come polo per l'equilibrio alla rotazione l'estremo \(A\) della trave, sono esprimibili come segue

\begin{align*} H_A \amp = 0\,,\\ V_A - F \amp = 0\,,\\ \mathcal{M}_{A} - F l \amp = 0\,. \end{align*}

Condizioni esprimibili in forma matriciale ottenendo

\begin{equation*} \underbrace{\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]}_{\mat{B}} \underbrace{\left[\begin{array}{c} H_A \\V_A \\ \mathcal{M}_{A} \end{array}\right]}_{\vec{r}} + \underbrace{\left[\begin{array}{c} 0 \\ -F \\ -Fl \end{array}\right]}_{\vec{f}} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

Il sistema è evidentemente isostatico e il calcolo delle componenti di reazione vincolare fornisce

\begin{align*} H_{A} \amp= 0\,,\\ V_{A} \amp= F\,,\\ \mathcal{M}_{A} \amp= F l\,. \end{align*}

Sottoparagrafo 5.6.2 trave appoggiata

Si consideri una trave vincolata nella maniera indicata in figura e soggetta ad una forza verticale in mezzeria. La stessa figura riporta anche il diagramma di corpo libero ottenuto rimuovendo la cerniera e il carrello facendo seguire l'applicazione delle relative componenti di reazione vincolare (\(m=3\)).

La presenza di un solo corpo rigido determina la scrittura di 3 equazioni di equilibrio (\(n=3\)) per le quali si assume l'estremo \(A\) come polo per l'equilibrio alla rotazione:

\begin{align*} H_A \amp = 0\,,\\ V_A + V_B - F \amp = 0\,,\\ V_{B} l - F l/2 \amp = 0\,. \end{align*}

Condizioni esprimibili in forma matriciale come

\begin{equation*} \underbrace{\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & l \end{array}\right]}_{\mat{B}} \underbrace{\left[\begin{array}{c} H_A \\V_A \\ V_{B} \end{array}\right]}_{\vec{r}} + \underbrace{\left[\begin{array}{c} 0 \\ -F \\ -Fl/2 \end{array}\right]}_{\vec{f}} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

Anche in questo caso la semplice ispezione della matrice statica consente di stabilire l'isostaticità del sistema. Il calcolo delle componenti di reazione vincolare fornisce:

\begin{align*} H_{A} \amp= 0\,,\\ V_{A} \amp= F/2\,,\\ V_{B} \amp= F/2\,. \end{align*}

Si riportano le istruzioni MATLAB® utilizzabili per il calcolo delle reazioni vincolari incognite.

% vettore delle risultanti =
% [orizzontale; verticale; momento]
R = zeros(3,1);

% funzione per il calcolo del momento
momento = @(X0, X, Carico)...
    -Carico(1)*(X(2)-X0(2))+Carico(2)*(X(1)-X0(1));

% coordinate dei punti sui quali sono applicati i carichi
syms L;
A = [0; 0];
B = [L; 0];
C = [L/2; 0];

% scelta del polo
POLO = A;

% per ogni punto si assegna il vettore Carico = [F1; F2; M]
% e si sommano i contributi alla risultante
syms HA VA;
CaricoA = [HA; VA; 0];
R = R + CaricoA;
R(3) = R(3) + momento(POLO, A, CaricoA);
R

syms VB;
CaricoB = [0; VB; 0];
R = R + CaricoB;
R(3) = R(3) + momento(POLO, B, CaricoB);
R

syms F;
CaricoC = [0; -F; 0];
R = R + CaricoC;
R(3) = R(3) + momento(POLO, C, CaricoC);
R

% equazioni di equilibrio
eqns = [
R(1) ==0,
R(2) == 0,
R(3)==0
];

% matrice statica e vettore dei carichi assegnati
[B,b] = equationsToMatrix(eqns, [HA, VA, VB]);

% gradi di libertà, n
% gradi di vincolo, m
[n,m] = size(B); 

% calcolo del rango di B
r = rank(B);

% se il sistema è staticamente determinato si calcola la soluzione
if and(r == min(m,n), m == n)
    x = linsolve(B,b);
end

HA = x(1)
VA = x(2)
VB = x(3)

Listato 5.6.3.

Sottoparagrafo 5.6.3 portale

Si consideri il seguente portale soggetto ad una forza verticale applicata nella mezzeria del traverso. I vincoli (\(m=3\)) sono applicati al piede dei ritti e la loro rimozione e la successiva applicazione delle componenti di reazione vincolare conduce al diagramma di corpo libero riportato in figura insieme allo schema assegnato.

Le equazioni di equilibrio (\(n=3\)) sono

\begin{align*} H_B \amp = 0\,,\\ V_A - F \amp = 0\,,\\ \mathcal{M}_{A} - V_A l + F l/2 \amp = 0\,. \end{align*}

Equazioni che corrispondono alla seguente forma matriciale del sistema

\begin{equation*} \underbrace{\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ -l & 1 & 0 \end{array}\right]}_{\mat{B}} \underbrace{\left[\begin{array}{c} V_A \\ \mathcal{M}_A \\ H_{B} \end{array}\right]}_{\vec{r}} + \underbrace{\left[\begin{array}{c} 0 \\ -F \\ F l/2 \end{array}\right]}_{\vec{f}} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

Il sistema è isostatico e la soluzione del sistema lineare fornisce

\begin{align*} V_{A} \amp= F\,,\\ \mathcal{M}_A \amp= F l/2\,,\\ H_{B} \amp= 0\,. \end{align*}

Si riportano le istruzioni MATLAB® utilizzabili per il calcolo delle reazioni vincolari incognite.

% vettore delle risultanti =
% [orizzontale; verticale; momento]
R = zeros(3,1);

% funzione per il calcolo del momento
momento = @(X0, X, Carico)...
    -Carico(1)*(X(2)-X0(2))+Carico(2)*(X(1)-X0(1));

% coordinate dei punti sui quali sono applicati i carichi
syms L;
A = [0; 0];
B = [L; L/2];
C = [L/2; L];

% scelta del polo
POLO = C;

% per ogni punto si assegna il vettore Carico = [F1; F2; M]
% e si sommano i contributi alla risultante
syms VA MA;
CaricoA = [0; VA; MA];
R = R + CaricoA;
R(3) = R(3) + momento(POLO, A, CaricoA);
R

syms HB;
CaricoB = [HB; 0; 0];
R = R + CaricoB;
R(3) = R(3) + momento(POLO, B, CaricoB);
R

syms F;
CaricoC = [0; -F; 0];
R = R + CaricoC;
R(3) = R(3) + momento(POLO, C, CaricoC);
R

% equazioni di equilibrio
eqns = [
R(1) ==0,
R(2) == 0,
R(3)==0
];

% matrice statica e vettore dei carichi assegnati
[B,b] = equationsToMatrix(eqns, [VA, MA, HB]);

% gradi di libertà, n
% gradi di vincolo, m
[n,m] = size(B); 

% calcolo del rango di B
r = rank(B);

% se il sistema è staticamente determinato si calcola la soluzione
if and(r == min(m,n), m == n)
    x = linsolve(B,b);
end

VA = x(1)
MA = x(2)
HB = x(3)

Listato 5.6.5.

Sottoparagrafo 5.6.4 sistema a due corpi

Si consideri il seguente sistema costituito da due corpi connessi mediante una cerniera interna. La rimozione di tutti i gradi di vincolo (\(m=6\)) e la successiva applicazione delle componenti di reazione vincolare conduce al diagramma di corpo libero riportato in figura insieme allo schema assegnato.

Il sistema è costituito da due corpi (\(n=6\)), consentendo la scrittura di due gruppi di equazioni: le equazioni di equilibrio per il corpo \(AB\) (polo in \(A\))

\begin{align*} H_A + H_B \amp = 0\,,\\ V_A + V_B - F \amp = 0\,,\\ V_{B} 2l - F l \amp = 0\,, \end{align*}

e quelle per il corpo \(BC\) (polo in \(D\))

\begin{align*} H_C - H_B + F \amp = 0\,,\\ V_C - V_B \amp = 0\,,\\ H_{B} l + V_C 2l \amp = 0\,. \end{align*}

Equazioni riscrivibili nella seguente forma matriciale

\begin{equation*} \underbrace{\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2l & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & l & 0 & 0 & 2l \end{array}\right]}_{\mat{B}} \underbrace{\left[\begin{array}{c} H_A \\ V_A \\ H_B \\ V_B \\ H_C \\ V_C \end{array}\right]}_{\vec{r}} + \underbrace{\left[\begin{array}{c} 0 \\ -F \\ -Fl \\ F \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}_{\vec{f}} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

Per il calcolo del rango della matrice statica si possono utilizzare le seguenti istruzioni MATLAB®.

syms l
B = [
1 0 1 0 0 0;
0 1 0 1 0 0;
0 0 0 2*l 0 0;
0 0 -1 0 1 0;
0 0 0 -1 0 1;
0 0 l 0 0 2*l
]
rango = rank(B)

Listato 5.6.7.

Il calcolo fornisce un rango pari a \(r=6\) che verifica la condizione \(\text{min}(n, m)=6\text{.}\) Essendo \(m==n\) il sistema è isostatico. La soluzione del sistema lineare calcolabile con MATLAB®

syms l F
B = [
1 0 1 0 0 0;
0 1 0 1 0 0;
0 0 0 2*l 0 0;
0 0 -1 0 1 0;
0 0 0 -1 0 1;
0 0 l 0 0 2*l
]
f = [0; -F; -F*l; F; 0; 0]
r = linsolve(B, -f)

Listato 5.6.8.

fornisce infine l'unica soluzione possibile di seguito riportata.

\begin{align*} H_{A} \amp= F\,,\\ V_A \amp= F/2\,,\\ H_{B} \amp= -F\,,\\ V_B \amp= F/2\,,\\ H_{C} \amp= -2F\,,\\ V_C \amp= F/2\,. \end{align*}