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Paragrafo 5.6 applicazione dell'analisi statica ai sistemi di corpi

Sottoparagrafo 5.6.1 mensola

Si consideri una semplice trave incastrata ad un estremitร  e soggetta ad una forza verticale all'estremo libero. Nella figura successiva viene illustrato lo schema di partenza e il diagramma di corpo libero ottenuto rimuovendo l'incastro ed applicando le relative componenti di reazione vincolare (m=3).

Figura 5.6.1.

L'analisi coinvolge solo un corpo rigido, pertanto รจ possibile scrivere 3 equazioni di equilibrio (n=3) che, assumendo come polo per l'equilibrio alla rotazione l'estremo A della trave, sono esprimibili come segue

HA=0,VAโˆ’F=0,MAโˆ’Fl=0.

Condizioni esprimibili in forma matriciale ottenendo

[100010001]โŸ[B][HAVAMA]โŸr+[0โˆ’Fโˆ’Fl]โŸf=[000].

Il sistema รจ evidentemente isostatico e il calcolo delle componenti di reazione vincolare fornisce

HA=0,VA=F,MA=Fl.

Sottoparagrafo 5.6.2 trave appoggiata

Si consideri una trave vincolata nella maniera indicata in figura e soggetta ad una forza verticale in mezzeria. La stessa figura riporta anche il diagramma di corpo libero ottenuto rimuovendo la cerniera e il carrello facendo seguire l'applicazione delle relative componenti di reazione vincolare (m=3).

Figura 5.6.2.

La presenza di un solo corpo rigido determina la scrittura di 3 equazioni di equilibrio (n=3) per le quali si assume l'estremo A come polo per l'equilibrio alla rotazione:

HA=0,VA+VBโˆ’F=0,VBlโˆ’Fl/2=0.

Condizioni esprimibili in forma matriciale come

[10001100l]โŸ[B][HAVAVB]โŸr+[0โˆ’Fโˆ’Fl/2]โŸf=[000].

Anche in questo caso la semplice ispezione della matrice statica consente di stabilire l'isostaticitร  del sistema. Il calcolo delle componenti di reazione vincolare fornisce:

HA=0,VA=F/2,VB=F/2.

Si riportano le istruzioni MATLABยฎ utilizzabili per il calcolo delle reazioni vincolari incognite.

% vettore delle risultanti =
% [orizzontale; verticale; momento]
R = zeros(3,1);

% funzione per il calcolo del momento
momento = @(X0, X, Carico)...
    -Carico(1)*(X(2)-X0(2))+Carico(2)*(X(1)-X0(1));

% coordinate dei punti sui quali sono applicati i carichi
syms L;
A = [0; 0];
B = [L; 0];
C = [L/2; 0];

% scelta del polo
POLO = A;

% per ogni punto si assegna il vettore Carico = [F1; F2; M]
% e si sommano i contributi alla risultante
syms HA VA;
CaricoA = [HA; VA; 0];
R = R + CaricoA;
R(3) = R(3) + momento(POLO, A, CaricoA);
R

syms VB;
CaricoB = [0; VB; 0];
R = R + CaricoB;
R(3) = R(3) + momento(POLO, B, CaricoB);
R

syms F;
CaricoC = [0; -F; 0];
R = R + CaricoC;
R(3) = R(3) + momento(POLO, C, CaricoC);
R

% equazioni di equilibrio
eqns = [
R(1) ==0,
R(2) == 0,
R(3)==0
];

% matrice statica e vettore dei carichi assegnati
[B,b] = equationsToMatrix(eqns, [HA, VA, VB]);

% gradi di libertร , n
% gradi di vincolo, m
[n,m] = size(B); 

% calcolo del rango di B
r = rank(B);

% se il sistema รจ staticamente determinato si calcola la soluzione
if and(r == min(m,n), m == n)
    x = linsolve(B,b);
end

HA = x(1)
VA = x(2)
VB = x(3)
Listato 5.6.3.

Sottoparagrafo 5.6.3 portale

Si consideri il seguente portale soggetto ad una forza verticale applicata nella mezzeria del traverso. I vincoli (m=3) sono applicati al piede dei ritti e la loro rimozione e la successiva applicazione delle componenti di reazione vincolare conduce al diagramma di corpo libero riportato in figura insieme allo schema assegnato.

Figura 5.6.4.

Le equazioni di equilibrio (n=3) sono

HB=0,VAโˆ’F=0,MAโˆ’VAl+Fl/2=0.

Equazioni che corrispondono alla seguente forma matriciale del sistema

[001100โˆ’l10]โŸ[B][VAMAHB]โŸr+[0โˆ’FFl/2]โŸf=[000].

Il sistema รจ isostatico e la soluzione del sistema lineare fornisce

VA=F,MA=Fl/2,HB=0.

Si riportano le istruzioni MATLABยฎ utilizzabili per il calcolo delle reazioni vincolari incognite.

% vettore delle risultanti =
% [orizzontale; verticale; momento]
R = zeros(3,1);

% funzione per il calcolo del momento
momento = @(X0, X, Carico)...
    -Carico(1)*(X(2)-X0(2))+Carico(2)*(X(1)-X0(1));

% coordinate dei punti sui quali sono applicati i carichi
syms L;
A = [0; 0];
B = [L; L/2];
C = [L/2; L];

% scelta del polo
POLO = C;

% per ogni punto si assegna il vettore Carico = [F1; F2; M]
% e si sommano i contributi alla risultante
syms VA MA;
CaricoA = [0; VA; MA];
R = R + CaricoA;
R(3) = R(3) + momento(POLO, A, CaricoA);
R

syms HB;
CaricoB = [HB; 0; 0];
R = R + CaricoB;
R(3) = R(3) + momento(POLO, B, CaricoB);
R

syms F;
CaricoC = [0; -F; 0];
R = R + CaricoC;
R(3) = R(3) + momento(POLO, C, CaricoC);
R

% equazioni di equilibrio
eqns = [
R(1) ==0,
R(2) == 0,
R(3)==0
];

% matrice statica e vettore dei carichi assegnati
[B,b] = equationsToMatrix(eqns, [VA, MA, HB]);

% gradi di libertร , n
% gradi di vincolo, m
[n,m] = size(B); 

% calcolo del rango di B
r = rank(B);

% se il sistema รจ staticamente determinato si calcola la soluzione
if and(r == min(m,n), m == n)
    x = linsolve(B,b);
end

VA = x(1)
MA = x(2)
HB = x(3)
Listato 5.6.5.

Sottoparagrafo 5.6.4 sistema a due corpi

Si consideri il seguente sistema costituito da due corpi connessi mediante una cerniera interna. La rimozione di tutti i gradi di vincolo (m=6) e la successiva applicazione delle componenti di reazione vincolare conduce al diagramma di corpo libero riportato in figura insieme allo schema assegnato.

Figura 5.6.6.

Il sistema รจ costituito da due corpi (n=6), consentendo la scrittura di due gruppi di equazioni: le equazioni di equilibrio per il corpo AB (polo in A)

HA+HB=0,VA+VBโˆ’F=0,VB2lโˆ’Fl=0,

e quelle per il corpo BC (polo in D)

HCโˆ’HB+F=0,VCโˆ’VB=0,HBl+VC2l=0.

Equazioni riscrivibili nella seguente forma matriciale

[1010000101000002l0000โˆ’1010000โˆ’10100l002l]โŸ[B][HAVAHBVBHCVC]โŸr+[0โˆ’Fโˆ’FlF00]โŸf=[000000].

Per il calcolo del rango della matrice statica si possono utilizzare le seguenti istruzioni MATLABยฎ.

syms l
B = [
1 0 1 0 0 0;
0 1 0 1 0 0;
0 0 0 2*l 0 0;
0 0 -1 0 1 0;
0 0 0 -1 0 1;
0 0 l 0 0 2*l
]
rango = rank(B)
Listato 5.6.7.

Il calcolo fornisce un rango pari a r=6 che verifica la condizione min(n,m)=6. Essendo m==n il sistema รจ isostatico. La soluzione del sistema lineare calcolabile con MATLABยฎ

syms l F
B = [
1 0 1 0 0 0;
0 1 0 1 0 0;
0 0 0 2*l 0 0;
0 0 -1 0 1 0;
0 0 0 -1 0 1;
0 0 l 0 0 2*l
]
f = [0; -F; -F*l; F; 0; 0]
r = linsolve(B, -f)
Listato 5.6.8.

fornisce infine l'unica soluzione possibile di seguito riportata.

HA=F,VA=F/2,HB=โˆ’F,VB=F/2,HC=โˆ’2F,VC=F/2.