Paragrafo 5.6 applicazione dell'analisi statica ai sistemi di corpi
Sottoparagrafo 5.6.1 mensola
Si consideri una semplice trave incastrata ad un estremità e soggetta ad una forza verticale all'estremo libero. Nella figura successiva viene illustrato lo schema di partenza e il diagramma di corpo libero ottenuto rimuovendo l'incastro ed applicando le relative componenti di reazione vincolare (\(m=3\)).

L'analisi coinvolge solo un corpo rigido, pertanto è possibile scrivere 3 equazioni di equilibrio (\(n=3\)) che, assumendo come polo per l'equilibrio alla rotazione l'estremo \(A\) della trave, sono esprimibili come segue
Condizioni esprimibili in forma matriciale ottenendo
Il sistema è evidentemente isostatico e il calcolo delle componenti di reazione vincolare fornisce
Sottoparagrafo 5.6.2 trave appoggiata
Si consideri una trave vincolata nella maniera indicata in figura e soggetta ad una forza verticale in mezzeria. La stessa figura riporta anche il diagramma di corpo libero ottenuto rimuovendo la cerniera e il carrello facendo seguire l'applicazione delle relative componenti di reazione vincolare (\(m=3\)).

La presenza di un solo corpo rigido determina la scrittura di 3 equazioni di equilibrio (\(n=3\)) per le quali si assume l'estremo \(A\) come polo per l'equilibrio alla rotazione:
Condizioni esprimibili in forma matriciale come
Anche in questo caso la semplice ispezione della matrice statica consente di stabilire l'isostaticità del sistema. Il calcolo delle componenti di reazione vincolare fornisce:
Si riportano le istruzioni MATLAB® utilizzabili per il calcolo delle reazioni vincolari incognite. % vettore delle risultanti =
% [orizzontale; verticale; momento]
R = zeros(3,1);
% funzione per il calcolo del momento
momento = @(X0, X, Carico)...
-Carico(1)*(X(2)-X0(2))+Carico(2)*(X(1)-X0(1));
% coordinate dei punti sui quali sono applicati i carichi
syms L;
A = [0; 0];
B = [L; 0];
C = [L/2; 0];
% scelta del polo
POLO = A;
% per ogni punto si assegna il vettore Carico = [F1; F2; M]
% e si sommano i contributi alla risultante
syms HA VA;
CaricoA = [HA; VA; 0];
R = R + CaricoA;
R(3) = R(3) + momento(POLO, A, CaricoA);
R
syms VB;
CaricoB = [0; VB; 0];
R = R + CaricoB;
R(3) = R(3) + momento(POLO, B, CaricoB);
R
syms F;
CaricoC = [0; -F; 0];
R = R + CaricoC;
R(3) = R(3) + momento(POLO, C, CaricoC);
R
% equazioni di equilibrio
eqns = [
R(1) ==0,
R(2) == 0,
R(3)==0
];
% matrice statica e vettore dei carichi assegnati
[B,b] = equationsToMatrix(eqns, [HA, VA, VB]);
% gradi di libertà, n
% gradi di vincolo, m
[n,m] = size(B);
% calcolo del rango di B
r = rank(B);
% se il sistema è staticamente determinato si calcola la soluzione
if and(r == min(m,n), m == n)
x = linsolve(B,b);
end
HA = x(1)
VA = x(2)
VB = x(3)
Sottoparagrafo 5.6.3 portale
Si consideri il seguente portale soggetto ad una forza verticale applicata nella mezzeria del traverso. I vincoli (\(m=3\)) sono applicati al piede dei ritti e la loro rimozione e la successiva applicazione delle componenti di reazione vincolare conduce al diagramma di corpo libero riportato in figura insieme allo schema assegnato.

Le equazioni di equilibrio (\(n=3\)) sono
Equazioni che corrispondono alla seguente forma matriciale del sistema
Il sistema è isostatico e la soluzione del sistema lineare fornisce
Si riportano le istruzioni MATLAB® utilizzabili per il calcolo delle reazioni vincolari incognite. % vettore delle risultanti =
% [orizzontale; verticale; momento]
R = zeros(3,1);
% funzione per il calcolo del momento
momento = @(X0, X, Carico)...
-Carico(1)*(X(2)-X0(2))+Carico(2)*(X(1)-X0(1));
% coordinate dei punti sui quali sono applicati i carichi
syms L;
A = [0; 0];
B = [L; L/2];
C = [L/2; L];
% scelta del polo
POLO = C;
% per ogni punto si assegna il vettore Carico = [F1; F2; M]
% e si sommano i contributi alla risultante
syms VA MA;
CaricoA = [0; VA; MA];
R = R + CaricoA;
R(3) = R(3) + momento(POLO, A, CaricoA);
R
syms HB;
CaricoB = [HB; 0; 0];
R = R + CaricoB;
R(3) = R(3) + momento(POLO, B, CaricoB);
R
syms F;
CaricoC = [0; -F; 0];
R = R + CaricoC;
R(3) = R(3) + momento(POLO, C, CaricoC);
R
% equazioni di equilibrio
eqns = [
R(1) ==0,
R(2) == 0,
R(3)==0
];
% matrice statica e vettore dei carichi assegnati
[B,b] = equationsToMatrix(eqns, [VA, MA, HB]);
% gradi di libertà, n
% gradi di vincolo, m
[n,m] = size(B);
% calcolo del rango di B
r = rank(B);
% se il sistema è staticamente determinato si calcola la soluzione
if and(r == min(m,n), m == n)
x = linsolve(B,b);
end
VA = x(1)
MA = x(2)
HB = x(3)
Sottoparagrafo 5.6.4 sistema a due corpi
Si consideri il seguente sistema costituito da due corpi connessi mediante una cerniera interna. La rimozione di tutti i gradi di vincolo (\(m=6\)) e la successiva applicazione delle componenti di reazione vincolare conduce al diagramma di corpo libero riportato in figura insieme allo schema assegnato.

Il sistema è costituito da due corpi (\(n=6\)), consentendo la scrittura di due gruppi di equazioni: le equazioni di equilibrio per il corpo \(AB\) (polo in \(A\))
e quelle per il corpo \(BC\) (polo in \(D\))
Equazioni riscrivibili nella seguente forma matriciale
Per il calcolo del rango della matrice statica si possono utilizzare le seguenti istruzioni MATLAB®. syms l
B = [
1 0 1 0 0 0;
0 1 0 1 0 0;
0 0 0 2*l 0 0;
0 0 -1 0 1 0;
0 0 0 -1 0 1;
0 0 l 0 0 2*l
]
rango = rank(B)
Il calcolo fornisce un rango pari a \(r=6\) che verifica la condizione \(\text{min}(n, m)=6\text{.}\) Essendo \(m==n\) il sistema è isostatico. La soluzione del sistema lineare calcolabile con MATLAB®
syms l F
B = [
1 0 1 0 0 0;
0 1 0 1 0 0;
0 0 0 2*l 0 0;
0 0 -1 0 1 0;
0 0 0 -1 0 1;
0 0 l 0 0 2*l
]
f = [0; -F; -F*l; F; 0; 0]
r = linsolve(B, -f)
fornisce infine l'unica soluzione possibile di seguito riportata.