Paragrafo 1.9 tensore della deformazione infinitesima
Accade spesso nelle applicazioni che l'entità del gradiente dello spostamento sia piccola. In questi casi il contributo dipendente da \(\transp{\tens{\nabla u}}\,\tens{\nabla u}\) e presente sia nel tensore \(\tens{E}\) sia nel tensore \(\tens{C}\) diventa trascurabile. Pertanto il tensore della deformazione di Green-Lagrange conciderà con il tensore della deformazione infinitesima \(\tens{\varepsilon}\)
mentre il tensore di Cauchy assumerà la seguente espressione
Sottoparagrafo 1.9.1 moti infinitesimi
Come premessa si ricordano le espressione esplicite del campo di spostamento \(\vec{u}\)
e del relativo gradiente \(\tens{\nabla u}\)
La seguente decomposizione di \(\tens{\nabla u}\)
in generale applicabile a tutti i tensori, consente di inserire in un quadro più generale il tensore della deformazione infinitesima prima introdotto ed il ruolo giocato da \(\tens{\nabla u}\) nella descrizione dei moti infinitesimi. Per moti infinitesimi intenderemo quindi i moti caratterizzati dalla condizione \(\|\tens{\nabla u}\| \rightarrow 0\text{.}\)
- La parte simmetrica, \(\text{sym}\tens{\nabla u}\text{,}\) che in forma matriciale è esprimibile come\begin{equation} \mat{\varepsilon} = \text{sym}\mat{\nabla u}= \left[\begin{array}{ccc} \regulardiff{u_1}{X_1} \amp \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_1}{X_2}+\regulardiff{u_2}{X_1}\right) \amp \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_1}{X_3}+\regulardiff{u_3}{X_1}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_2}{X_1}+\regulardiff{u_1}{X_2}\right) \amp \regulardiff{u_2}{X_2} \amp \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_2}{X_3}+\regulardiff{u_3}{X_2}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_3}{X_1}+\regulardiff{u_1}{X_3}\right) \amp \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_3}{X_2}+\regulardiff{u_2}{X_3}\right) \amp \regulardiff{u_3}{X_3} \end{array}\right]\,,\label{mat_symDu_eq}\tag{1.9.4} \end{equation}fornisce il tensore della deformazione infinitesima \(\tens{\varepsilon}\text{.}\) La notazione utilizzata per le singole componenti del tensore è\begin{equation} \mat{\varepsilon} = \left[\begin{array}{ccc} \varepsilon_{11} \amp \varepsilon_{12} \amp \varepsilon_{13}\\ \varepsilon_{21} \amp \varepsilon_{22} \amp \varepsilon_{23}\\ \varepsilon_{31} \amp \varepsilon_{32} \amp \varepsilon_{33} \end{array}\right]\,.\tag{1.9.5} \end{equation}
- La parte emisimmetrica, \(\text{skew}\tens{\nabla u}\text{,}\) che in forma matriciale è esprimibile come\begin{equation} \text{skew}\mat{\nabla u}= \left[\begin{array}{ccc} 0 \amp \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_1}{X_2}-\regulardiff{u_2}{X_1}\right) \amp \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_1}{X_3}-\regulardiff{u_3}{X_1}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_2}{X_1}-\regulardiff{u_1}{X_2}\right) \amp 0 \amp \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_2}{X_3}-\regulardiff{u_3}{X_2}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_3}{X_1}-\regulardiff{u_1}{X_3}\right) \amp \frac{1}{2}\left(\regulardiff{u_3}{X_2}-\regulardiff{u_2}{X_3}\right) \amp 0 \end{array}\right]\,,\tag{1.9.6} \end{equation}fornisce il tensore della rotazione infinitesima.
- Nel caso di moto infinitesimo generico\begin{equation} \text{sym}\tens{\nabla u} \neq \tens{0}\,,\quad \text{skew}\tens{\nabla u} \neq \tens{0}.\tag{1.9.7} \end{equation}
- Nel caso di moto rigido infinitesimo\begin{equation} \text{sym}\tens{\nabla u} = \tens{0}\,,\quad \text{skew}\tens{\nabla u} \neq \tens{0}.\tag{1.9.8} \end{equation}
Intuizione 1.9.1. interpretazione delle componenti del tensore della deformazione infinitesima.
Al fine di individuare il significato delle componenti del tensore \(\tens{\varepsilon}\) conviene richiamare l'espressione del tensore \(\tens{C}\) rispetto al gradiente delo spostamento, ovvero
da cui, effettuando i calcoli, ad esempio con le seguenti istruzioni MATLAB®
si possono ricavare le espressioni di una componente sulla diagonale ed una fuori dalla diagonale
Per la componente sulla diagonale, utilizzando il risultato (1.8.4) ottenuto per la componente sulla diagonale di \(\tens{C}\text{,}\) si può scrivere
Da cui si ricava
Analogo risultato vale per le altre componenti di \(\tens{\varepsilon}\) sulla diagonale.
Per la componente fuori dalla diagonale, utilizzando il risultato (1.8.6), si ha
e quindi
Intuizione 1.9.3. rotazioni infinitesime.
Per spiegare la denominazione "rotazione infinitesima" che è stata data alla parte emisimmetrica del gradiente dello spostamento conviene discutere in concreto una trasformazione caratterizzata solo da una semplice rotazione. A tal fine si consideri una rotazione intorno all'asse \(\vec{e}_3\text{.}\) La parte significativa della trasformazione può essere discussa direttamente nel piano con
Il campo di spostamento associato è
Con tali dati è possibile calcolare il gradiente della trasformazione che, nel caso specifico, è composto solo dalla rotazione
dove, come già discusso nelle sezioni precedenti,
Inoltre
e quindi
Risultato che evidenzia la decomposizione del gradiente dello spostamento con
ma ancora del tutto generico e che non fa riferimento agli spostamenti infinitesimi.
Ipotizzare spostamenti infinitesimi equivale ad assumere valori dell'angolo \(\alpha\) molto piccoli, \(\alpha \ll 1\text{,}\) ovvero \(\cos{\alpha}\approx 1\) e \(\sin{\alpha} \approx \alpha\text{.}\) Da cui deriva
Pertanto nel caso di spostamenti infinitesi la relazione (1.9.11) può essere riscritta come segue
La Figura illustra graficamente il risultato ottenuto mostrando anche in che relazione stanno il vettore ottenuto applicando \(\tens{R}\)
e il vettore ottenuto applicando l'approssimazione di \(\tens{R}\) data da \((\tens{I} + \text{skew}\tens{\nabla u})\)
Intuizione 1.9.5.
Dato un tensore \(\tens{W}\) emisimmetrico, la cui forma matriciale ad esso associata per definizione sarà
si può verificare come la sua applicazione ad un vettore \(\vec{v}\)
equivalga a calcolare il seguente prodotto vettoriale
dove le componenti di \(\vec{\omega}\) sono messe in corrispondenza con le componenti di \(\tens{W}\) nel modo seguente
Quindi, noto \(\vec{\omega}\text{,}\) \(\tens{W}\) può essere espresso come segue
Pertanto si ha
e \(\omega\) è il vettore assiale associato al tensore emisimmetrico \(\tens{W}\text{.}\) L'aggettivo assiale deriva dal fatto che \(\omega\) individua l'asse di una rotazione intorno al quale si effettua la rotazione infinitesima.