Introduzione alla meccanica dei solidi

Sottoparagrafo 4.3.1 matrice cinematica

Si consideri un sistema rigido caratterizzato da \(n\) coordinate lagrangiane e soggetto ad \(m\) condizioni di vincolo. Le equazioni di vincolo corrispondente sono esprimibili nel modo seguente

\(d_i\) è il generico cedimento assegnato sul vincolo \(i\)-esimo, \(q_j\) è l'incremento della coordinata lagrangiana \(j\)-esima e \(A_{ij}\) è il contributo di spostamento fornito per un incremento unitario della coordinata \(q_j\) sul vincolo \(i\)-esimo. In termini matriciali le condizioni vincolari sono esprimibili come segue

dove \(\mat{A}\text{,}\) di dimensioni \(m \times n\text{,}\) è la matrice cinematica del sistema, \(\vec{q}\text{,}\) di dimensione \(n\text{,}\) è il vettore che raccoglie le coordinate lagrangiane e \(\vec{d}\text{,}\) di dimensione \(m\text{,}\) è il vettore dei cedimenti assegnati.

Sottoparagrafo 4.3.2 classificazione cinematica

Il sistema lineare (4.3.2) viene utilizzato per il calcolo dei parametri lagrangiani \(\vec{q}\text{.}\) A tal fine è utile definire, sulla base delle condizioni di solvibilità del sistema, una classificazione cinematica dei stistemi. Sia \(p=\text{min}(n, m)\text{,}\) allora possono verificarsi i seguenti casi.

• \(\text{rango}\mat{A} == p\)
  • \(n==m\text{:}\) sistema determinato;
  • \(n>m\text{:}\) sistema labile;
  • \(n<m\text{:}\) sistema impossibile.
• \(\text{rango}\mat{A} < p\)
  • sistema degenere.