Note 4.3.1.
Le componenti del vettore \(\vec{d}\) possono assumere indifferentemente valori nulli o non nulli. Il caso tipico è comunque il caso di cedimento assegnato nullo.
Section 4.3 analisi cinematica
Subsection 4.3.1 matrice cinematica
Si consideri un sistema rigido caratterizzato da \(n\) coordinate lagrangiane e soggetto ad \(m\) condizioni di vincolo. Le equazioni di vincolo corrispondente sono esprimibili nel modo seguente
\begin{equation}
\sum_{j=1}^n A_{ij} q_j = d_i \qquad (i=1 \dots m)\,.\tag{4.3.1}
\end{equation}
\(d_i\) è il generico cedimento assegnato sul vincolo \(i\)-esimo, \(q_j\) è l’incremento della coordinata lagrangiana \(j\)-esima e \(A_{ij}\) è il contributo di spostamento fornito per un incremento unitario della coordinata \(q_j\) sul vincolo \(i\)-esimo. In termini matriciali le condizioni vincolari sono esprimibili come segue
\begin{equation}
\mat{A} \vec{q} = \vec{d},\tag{4.3.2}
\end{equation}
dove \(\mat{A}\text{,}\) di dimensioni \(m \times n\text{,}\) è la matrice cinematica del sistema, \(\vec{q}\text{,}\) di dimensione \(n\text{,}\) è il vettore che raccoglie le coordinate lagrangiane e \(\vec{d}\text{,}\) di dimensione \(m\text{,}\) è il vettore dei cedimenti assegnati.
Subsection 4.3.2 classificazione cinematica
Il sistema lineare (4.3.2) viene utilizzato per il calcolo dei parametri lagrangiani \(\vec{q}\text{.}\) A tal fine è utile definire, sulla base delle condizioni di solvibilità del sistema, una classificazione cinematica dei stistemi. Sia \(p=\text{min}(n, m)\text{,}\) allora possono verificarsi i seguenti casi.
-
\(\text{rango}\mat{A} == p\)
-
\(n==m\text{:}\) sistema determinato;
-
\(n>m\text{:}\) sistema labile;
-
\(n<m\text{:}\) sistema impossibile.
-
-
\(\text{rango}\mat{A} < p\)
-
sistema degenere.
-
Remark 4.3.2.
Nel caso di sistema degenere una o più righe della matrice \(\mat{A}\) sono combinazione lineare delle altre. L’eliminazione delle righe dipendenti conduce ad un sistema con un numero inferiore di equazioni per il quale si può procedere con la soluzione ricadendo in uno dei tre casi visti per il sistema non degenere. Da un punto di vista meccanico tale situazione non necessariamente è sintomo di un errore ma può essere determinata da uno o più gradi di vincolo eliminabili senza modificare le condizioni cinematiche applicate al sistema.
