Solid Mechanics - equazioni di equilibrio

Paragrafo 5.1 equazioni di equilibrio

Di equazioni di equilibrio si è già parlato nel Capitolo 2 dedicato ai corpi continui. Si potrebbe quindi procedere particolarizzando le equazioni (2.2.1) e (2.2.2) al caso di sistemi di corpi soggetti a forze di tipo puntuale. Si preferisce invece ricavare le equazioni di equilibrio in maniera autonoma attraverso l'applicazione del principio dei lavori virtuali già discusso per i corpi continui nella Paragrafo 2.5.

Sottoparagrafo 5.1.1 condizioni di equilibrio statico per un sistema di punti

Si consideri un sistema costituito da \(N\) punti materiali. Applicando la prima legge di Newton il sistema di punti manterrà il proprio stato di quiete se:

\begin{equation} \vec{F}_i = \vec0\,, \quad i=1 \dots N\,.\label{StaticNewton1stLaw_eq}\tag{5.1.1} \end{equation}

Sottoparagrafo 5.1.2 forma scalare delle equazioni di equilibrio

Si consideri per ciascun punto del sistema uno spostamento arbitrario \(\delta\vec{u}_i\text{,}\) e si sommi il prodotto scalare di ogni forza \(\vec{F}_i\) per il corrispondente spostamento introdotto. In virtù della (5.1.1) è possibile formulare la seguente equazione scalare:

\begin{equation} \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_i = 0\,,\quad \forall \delta\vec{u}_i\,.\label{rb_PLV_eq}\tag{5.1.2} \end{equation}

Quanto detto può essere formulato sinteticamente come segue

\begin{equation} \vec{F}_i = \vec0\,, \quad i=1 \dots N \quad\Rightarrow\quad\sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_i = 0\,,\quad \forall \delta\vec{u}_i \,.\tag{5.1.3} \end{equation}

È facile rendersi conto come sia vero anche l'inverso ovvero

\begin{equation} \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_i = 0\,,\quad \forall \delta\vec{u}_i \quad\Rightarrow\quad \vec{F}_i = \vec0\,, \quad i=1 \dots N \,.\tag{5.1.4} \end{equation}

Sottoparagrafo 5.1.3 introduzione della cinematica di corpo rigido

Se a questo punto si assume che il sistema di punti in esame siano punti appartenenti ad un corpo rigido allora è possibile esprimere il campo di spostamenti virtuali, si veda l'equazione (4.1.6), nel modo seguente:

\begin{equation} \delta\vec{u}_i = \delta\vec{u}_o + \delta\varphi\,\tens{W}\left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right).\tag{5.1.5} \end{equation}

Grazie a quest'ultima relazione la (5.1.2) può essere riscritta come

\begin{equation} \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \left( \delta\vec{u}_o + \delta\varphi\,\tens{W}\left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \right) = 0\,, \quad \forall \delta\vec{u}_o,\forall \delta\varphi\tens{W}\tag{5.1.6} \end{equation}

e manipolata come segue:

\begin{gather*} \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_o + \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\varphi\,\tens{W}\left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) = 0\,,\\ \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_o + \underbrace{\sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\varphi\,\vec{w}\times\left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right)}_{\text{proprietà tensori emisimmetrici}} = 0\,,\\ \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_o + \underbrace{\sum_{i=1}^N \delta\varphi\,\vec{w} \cdot\left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i}_{\text{proprietà prodotto triplo}} = 0\,,\\ \left(\sum_{i=1}^N\vec{F}_i\right) \cdot \delta\vec{u}_o + \delta\varphi\,\vec{w} \cdot \left( \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i \right) = 0\,. \end{gather*}

Il soddisfacimento di quest'ultima condizione scalare per qualsiasi \(\delta\vec{u}_o\) e qualsiasi \(\delta\varphi\vec{w}\) richiede il soddisfacimento delle seguenti equazioni vettoriali.

Annullamento della risultante delle forze applicate
\begin{equation} \sum_{i=1}^N\vec{F}_i = \vec{0}\,.\label{rb_statics1_eq}\tag{5.1.7} \end{equation}
Annullamento del momento risultante delle forze applicate
\begin{equation} \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i = \vec{0}\,.\label{rb_statics2_eq}\tag{5.1.8} \end{equation}

Osservazione 5.1.1.

Ciascuna delle equazioni vettoriali (5.1.7) e (5.1.8) è esprimibile nei termini di tre equazioni scalari associate alle singole componenti dei vettori risultante e momento risultante.

Osservazione 5.1.2.

La scelta del polo, di coordinate \(\vec{X}_o\) (interno o esterno al corpo in esame), è indifferente, come si può verificare utilizzando un altro polo avente coordinate, ad esempio, \(\vec{X}_{o}+\Delta\vec{X}\text{.}\)

\begin{equation*} \begin{split} \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \left(\vec{X}_o+\Delta\vec{X}\right)\right) \times \vec{F}_i = \\ = \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i - \sum_{i=1}^N \Delta\vec{X} \times \vec{F}_i = \\ = \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i - \Delta\vec{X} \times \sum_{i=1}^N \vec{F}_i =\\ = \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i \end{split} \end{equation*}

Dove, nell'ultimo passaggio, è stata utilizzata la condizione di annullamento della risultante.

Sottoparagrafo 5.1.4 momento di una forza

Data una forza \(\vec{F}\) applicata al punto di coordinate \(\vec{X}\) e dato un polo individuato dalle coordinate \(\vec{X}_o\text{,}\) è possibile valutare il momento di \(\vec{F}\) rispetto al polo scelto calcolando il seguente prodotto vettoriale

\begin{equation} \calvec{M}_o = \left( \vec{X} - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}\,,\tag{5.1.9} \end{equation}

dove \(\calvec{M}_o\) è un vettore ortogonale ad ambedue i vettori \(\left( \vec{X} - \vec{X}_o\right)\) e \(\vec{F}\) ed ha modulo

\begin{equation} \|\calvec{M}_o\| = \|\left( \vec{X} - \vec{X}_o\right)\| \|\vec{F}\| \sin{\theta}\,,\tag{5.1.10} \end{equation}

essendo \(\theta\) l'angolo compreso fra i due vettori. La quantità

\begin{equation} b = \|\left( \vec{X} - \vec{X}_o\right)\| \sin{\theta}\tag{5.1.11} \end{equation}

prende il nome di braccio quantità che non cambia se la forza scorre lungo la sua retta di applicazione:

\begin{equation*} b = \|\left( \vec{X} - \vec{X}_o\right)\| \sin{\theta} = \|\left( \vec{X}' - \vec{X}_o\right)\| \sin{\theta'}\,. \end{equation*}

Quindi \(b\) è la distanza fra il polo \(P_o\) e la retta di applicazione della forza \(\vec{F}\text{.}\) Si osserva anche che se \(\theta=0\) oppure \(\theta=\pi\text{,}\) ovvero i vettori \(\left( \vec{X} - \vec{X}_o\right)\) e \(\vec{F}\) sono paralleli, il momento \(\calvec{M}_o\) è nullo.

Nota 5.1.4. definizione di una coppia.

Si consideri un generico corpo rigido soggetto a due forze aventi risultante nulla così come mostrato nella seguente figura.

In questo caso si potrà dire che il corpo è soggetto soltanto ad una coppia avente modulo

\begin{equation*} \| \calvec{M}_o \| = \|\vec{F}\|\, b \end{equation*}

essendo \(b\) la distanza fra le due rette che sostengono le forze assegnate. Stabilita quindi l'origine dell'ente statico coppia, nulla vieta l'assegnazione diretta di una coppia applicata ad un corpo rigido come ulteriore carico agente sul corpo, senza la necessità di specificare le forze che l'hanno prodotta. Infatti tali forze darebbero comunque un contributo nullo all'equilibrio alla traslazione del corpo. Si fa notare inoltre che l'assegnazione della coppia non richiede anche la specifica di un punto di applicazione.