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Introduzione alla meccanica dei solidi

Antonio Bilotta

Section 5.1 equazioni di equilibrio

Di equazioni di equilibrio si è già parlato nel Chapter 2 dedicato ai corpi continui. Si potrebbe quindi procedere particolarizzando le equazioni (2.2.1) e (2.2.2) al caso di sistemi di corpi soggetti a forze di tipo puntuale. Si preferisce invece ricavare le equazioni di equilibrio in maniera autonoma attraverso l’applicazione del principio dei lavori virtuali già discusso per i corpi continui nella Section 2.5.
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Subsection 5.1.1 condizioni di equilibrio statico per un sistema di punti

Si consideri un sistema costituito da \(N\) punti materiali. Applicando la prima legge di Newton il sistema di punti manterrà il proprio stato di quiete se:
\begin{equation} \vec{F}_i = \vec0\,, \quad i=1 \dots N\,.\tag{5.1.1} \end{equation}
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Subsection 5.1.2 forma scalare delle equazioni di equilibrio

Si consideri per ciascun punto del sistema uno spostamento arbitrario \(\delta\vec{u}_i\text{,}\) e si sommi il prodotto scalare di ogni forza \(\vec{F}_i\) per il corrispondente spostamento introdotto. In virtù della (5.1.1) è possibile formulare la seguente equazione scalare:
\begin{equation} \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_i = 0\,,\quad \forall \delta\vec{u}_i\,.\tag{5.1.2} \end{equation}
Quanto detto può essere formulato sinteticamente come segue
\begin{equation} \vec{F}_i = \vec0\,, \quad i=1 \dots N \quad\Rightarrow\quad\sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_i = 0\,,\quad \forall \delta\vec{u}_i \,.\tag{5.1.3} \end{equation}
È facile rendersi conto come sia vero anche l’inverso ovvero
\begin{equation} \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_i = 0\,,\quad \forall \delta\vec{u}_i \quad\Rightarrow\quad \vec{F}_i = \vec0\,, \quad i=1 \dots N \,.\tag{5.1.4} \end{equation}
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Subsection 5.1.3 introduzione della cinematica di corpo rigido

Se a questo punto si assume che il sistema di punti in esame siano punti appartenenti ad un corpo rigido allora è possibile esprimere il campo di spostamenti virtuali, si veda l’equazione (4.1.6), nel modo seguente:
\begin{equation} \delta\vec{u}_i = \delta\vec{u}_o + \delta\varphi\,\tens{W}\left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right).\tag{5.1.5} \end{equation}
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Grazie a quest’ultima relazione la (5.1.2) può essere riscritta come
\begin{equation} \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \left( \delta\vec{u}_o + \delta\varphi\,\tens{W}\left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \right) = 0\,, \quad \forall \delta\vec{u}_o,\forall \delta\varphi\tens{W}\tag{5.1.6} \end{equation}
e manipolata come segue:
\begin{gather*} \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_o + \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\varphi\,\tens{W}\left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) = 0\,,\\ \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_o + \underbrace{\sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\varphi\,\vec{w}\times\left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right)}_{\text{proprietà tensori emisimmetrici}} = 0\,,\\ \sum_{i=1}^N\vec{F}_i \cdot \delta\vec{u}_o + \underbrace{\sum_{i=1}^N \delta\varphi\,\vec{w} \cdot\left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i}_{\text{proprietà prodotto triplo}} = 0\,,\\ \left(\sum_{i=1}^N\vec{F}_i\right) \cdot \delta\vec{u}_o + \delta\varphi\,\vec{w} \cdot \left( \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i \right) = 0\,. \end{gather*}
Il soddisfacimento di quest’ultima condizione scalare per qualsiasi \(\delta\vec{u}_o\) e qualsiasi \(\delta\varphi\vec{w}\) richiede il soddisfacimento delle seguenti equazioni vettoriali.
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  • Annullamento della risultante delle forze applicate
    \begin{equation} \sum_{i=1}^N\vec{F}_i = \vec{0}\,.\tag{5.1.7} \end{equation}
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  • Annullamento del momento risultante delle forze applicate
    \begin{equation} \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i = \vec{0}\,.\tag{5.1.8} \end{equation}
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Remark 5.1.2.

\(\vec{X}_o\)\(\vec{X}_{o}+\Delta\vec{X}\text{.}\)
\begin{equation*} \begin{split} \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \left(\vec{X}_o+\Delta\vec{X}\right)\right) \times \vec{F}_i = \\ = \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i - \sum_{i=1}^N \Delta\vec{X} \times \vec{F}_i = \\ = \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i - \Delta\vec{X} \times \sum_{i=1}^N \vec{F}_i =\\ = \sum_{i=1}^N \left( \vec{X}_i - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}_i \end{split} \end{equation*}
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Subsection 5.1.4 momento di una forza

Data una forza \(\vec{F}\) applicata al punto di coordinate \(\vec{X}\) e dato un polo individuato dalle coordinate \(\vec{X}_o\text{,}\) è possibile valutare il momento di \(\vec{F}\) rispetto al polo scelto calcolando il seguente prodotto vettoriale
\begin{equation} \calvec{M}_o = \left( \vec{X} - \vec{X}_o\right) \times \vec{F}\,,\tag{5.1.9} \end{equation}
dove \(\calvec{M}_o\) è un vettore ortogonale ad ambedue i vettori \(\left( \vec{X} - \vec{X}_o\right)\) e \(\vec{F}\) ed ha modulo
\begin{equation} \|\calvec{M}_o\| = \|\left( \vec{X} - \vec{X}_o\right)\| \|\vec{F}\| \sin{\theta}\,,\tag{5.1.10} \end{equation}
essendo \(\theta\) l’angolo compreso fra i due vettori. La quantità
\begin{equation} b = \|\left( \vec{X} - \vec{X}_o\right)\| \sin{\theta}\tag{5.1.11} \end{equation}
prende il nome di braccio quantità che non cambia se la forza scorre lungo la sua retta di applicazione:
Figure 5.1.3.
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\begin{equation*} b = \|\left( \vec{X} - \vec{X}_o\right)\| \sin{\theta} = \|\left( \vec{X}' - \vec{X}_o\right)\| \sin{\theta'}\,. \end{equation*}
Quindi \(b\) è la distanza fra il polo \(P_o\) e la retta di applicazione della forza \(\vec{F}\text{.}\) Si osserva anche che se \(\theta=0\) oppure \(\theta=\pi\text{,}\) ovvero i vettori \(\left( \vec{X} - \vec{X}_o\right)\) e \(\vec{F}\) sono paralleli, il momento \(\calvec{M}_o\) è nullo.
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Note 5.1.4. definizione di una coppia.

Figure 5.1.5.
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coppia
\begin{equation*} \| \calvec{M}_o \| = \|\vec{F}\|\, b \end{equation*}
\(b\)
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