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Paragrafo 1.6 decomposizione polare

La possibilità che una data trasformazione lineare possa essere il risultato della composizione di più trasformazioni lineari e la considerazione fisica che il moto di un corpo si compone di trasformazioni elementari come la rotazione e la deformazione pura, portano al seguente risultato fondamentale e formalizzabile in termini di teorema.

teorema di decomposizione polare.

Dato il gradiente della deformazione \(\func{\tens{F}}{\vec{X}}\text{,}\) in ogni punto del corpo soggetto al moto esiste un'unica decomposizione polare definita come segue

\begin{equation} \tens{F} = \tens{R}\tens{U} = \tens{V}\tens{R}.\label{polar_dec_eq}\tag{1.6.1} \end{equation}

\(\tens{R}\) è il tensore di rotazione, quindi un tensore ortogonale proprio, che soddisfa la relazione

\begin{equation} \transp{\tens{R}}\tens{R} = \tens{I}\,.\tag{1.6.2} \end{equation}

\(\tens{U}\) e \(\tens{V}\) sono, rispettivamente, il tensore destro di deformazione e il tensore sinistro di deformazione. Tali tensori sono unici, definiti positivi e simmetrici. Il fatto che \(\tens{U}\) e \(\tens{V}\) siano definiti positivi impone che per qualsiasi vettore \(\vec{v} \neq \vec0\) sia soddisfatta la proprietà

\begin{equation} \vec{v} \cdot \left(\tens{U} \vec{v} \right) > 0 \,,\qquad \vec{v} \cdot \left(\tens{V} \vec{v} \right) > 0\,,\tag{1.6.3} \end{equation}

mentre la simmetria impone che

\begin{equation} \tens{U} = \transp{\tens{U}}\,,\qquad \tens{V} = \transp{\tens{V}}\,.\tag{1.6.4} \end{equation}
Osservazione 1.6.1.

Applicando la decomposizione polare destra alla relazione (1.3.9) si ottiene

\begin{equation} d\vec{x} = \tens{F}\, d\vec{X} = \tens{R}\, \left(\tens{U}\, d\vec{X}\right) \,,\tag{1.6.5} \end{equation}

che evidenzia come il vettore \(d\vec{X}\) venga prima deformato e poi ruotato. Applicando invece la decomposizione polare sinistra si ottiene

\begin{equation} d\vec{x} = \tens{F}\, d\vec{X} = \tens{V}\, \left(\tens{R}\, d\vec{X}\right) \,,\tag{1.6.6} \end{equation}

da interpretare come sequenza di deformazione di \(d\vec{X}\) seguita da una rotazione. Quanto detto viene illustrato dalla seguente figura.

Figura 1.6.2.
In particolare si illustra il caso in cui il tensore destro della deformazione, \(\tens{U}\text{,}\) produce soltanto un allungamento in direzione orizzonale e, a seguire, il tensore \(\tens{R}\) produce una rotazione di 45\(^o\text{.}\) È evidente che nel caso in cui si applichi prima la rotazione, seconda e terza sequenza di trasformazioni in figura, il tensore della deformazione non può essere lo stesso ma deve essere diverso e pari la tensore sinistro \(\tens{V}\) il quale consente di ottenere la stessa configurazione finale.

Il teorema di decomposizione polare coglie quindi le trasformazioni elementari, rotazione e deformazione pura, che compongono \(\tens{F}\) e mette in evidenza la non commutatività delle due trasformazioni. Inoltre se \(\tens{R}=\tens{I}\) e quindi \(\tens{F}=\tens{U}=\tens{V}\) la trasformazione, nel punto considerato, è una deformazione pura. Al contrario, \(\tens{U}=\tens{I}=\tens{V}\) e quindi \(\tens{F}=\tens{R}\) la trasformazione, nel punto considerato, è una rotazione rigida.

Osservazione 1.6.3. tensori di rotazione.

Abbiamo già più volte incontrato il tensore 2D relativo ad una rotazione in senso antiorario di \(90^o\) che in termini matriciali ha la seguente espressione

\begin{equation*} \mat{R}_{90^o} = \left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

Per tale tensore è facile verificare le seguenti proprietà

\begin{equation*} \mat{R}_{90^o}^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 0 \amp 1 \\ -1 \amp 0 \end{array}\right] = \transp{\mat{R}_{90^o}}\,,\quad \transp{\tens{R}_{90^o}}\,\tens{R}_{90^o}= \tens{I}\,,\quad \det{\tens{R}_{90^o}} = 1\,. \end{equation*}

Le proprietà elencate non sono specifiche del particolare tensore considerato ma sono soddisfatte da tutti i tensori di rotazione, qualsiasi sia l'entità dell'angolo di rotazione. Al fine di verificare ciò, si consideri la trasformazione lineare che ruota di un generico angolo \(\theta\) un vettore assegnato \(\vec{X}\text{.}\)

Come mostrato nel video si ottiene il seguente risultato

\begin{equation*} \vec{\chi}_{\theta}\left(\vec{X} \right) = \left[\begin{array}{c} X_1\cos{\theta} - X_2\sin{\theta} \\ X_1\sin{\theta} + X_2\cos{\theta} \end{array}\right] = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \cos{\theta} \amp -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} \amp \cos{\theta} \end{array}\right]}_{\tens{R}} \left[\begin{array}{c} X_1 \\ X_2 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

È facile verificare le proprietà

\begin{equation*} \transp{\tens{R}}\,\tens{R} = \tens{I}\,,\quad \det{\tens{R}} = 1\,. \end{equation*}

con le quali si definiscono i tensori ortogonali propri. La condizione appena scritta consente di ottenere

\begin{equation*} \det{\tens{F}} = \det{(\tens{R}\,\tens{U})} = \det{\tens{R}}\,\det{\tens{U}} = \det{\tens{U}}\,, \end{equation*}

relazione che conferma il fatto che il cambio di volume non può che essere legato unicamente alla parte \(\tens{U}\) della trasformazione. È anche facile verificare che

\begin{equation*} \det{\tens{U}} = \det{\tens{V}}\,. \end{equation*}
Osservazione 1.6.4. tensori definiti positivi.

Se un tensore simmetrico \(\tens{T}\) verifica la condizione

\begin{equation*} \vec{v} \cdot \tens{T} \vec{v} > 0\,,\quad \forall \vec{v} \neq \vec0 \end{equation*}

allora il tensore è definito positivo. Da un punto di vista geometrico tale condizione è facilmente interpretabile come segue: ogni volta che si applica la trasformazione lineare \(\tens{T}\) a qualsiasi vettore non nullo, si ottiene un vettore \(\tens{T}\vec{v}\) che forma con il vettore di partenza \(\vec{v}\) un angolo inferiore a \(\pi/2\text{,}\) condizione che ha comunque, molto spesso, un significato fisico ben preciso.

Sulla condizione di positività verrà fornito un ulteriore approfondimento quando si parlerà di autovalori ed autovettori.