Paragrafo 3.7 applicazioni del modello di trave tesa
Sottoparagrafo 3.7.1 trave semplicemente tesa
Utilizzando l'equazione (3.5.21) si calcoli la soluzione elastica per il seguente schema.
Per l'assenza di carico ripartito l'equazione da risolvere diventa
che ha come integrale generale
Le costanti di integrazione sono valutabili imponendo le condizioni al contorno
Da cui si ottiene
Quindi il campo di spostamento assume la seguente espressione
con cui è possibile valutare lo sforzo normale lungo l'asta e, ad esempio, lo spostamento all'estremo libero
quest'ultimo coincide con l'allungamento totale dell'asta valutabile anche come segue
soluzione tramite MATLAB®.
L'integrale generale può essere calcolato utilizzando le seguenti istruzioni.
La soluzione che verifica anche le condizioni al contorno assegnate si ottiene invece con le seguenti istruzioni.
Sottoparagrafo 3.7.2 trave iperstatica con discontinuità
Lo schema assegnato si differenzia dallo schema considerato nella sezione precedente perché la soluzione elastica da valutare non ha un'unica espressione valida sul tutto il dominio della trave. La forza applicata all'interno dell'estensione della trave determina una discontinuità nella soluzione e quindi la necessità di studiare il problema sui due sottodimini, \(0\leq x \leq a\) e \(a\leq x \leq l\text{,}\) evidenziati in Figura. Si procede quindi valutando due soluzioni elastiche differenti ma connesse dalle necessarie condizioni al contorno all'interfaccia.
L'equazione di equilibrio, (3.5.21), applicata ai due sottodomini della trave sono formulabili come segue
Si ottiene quindi un sistema di 2 equazioni differenziali dove le incognite, \(u_a\) e \(u_b\text{,}\) sono disaccopiate. Incognite che comunque interagiscono nelle condizioni al contorno. In particolare tali condizioni sono espresse dalle seguenti equazioni
dove l'ultima equazione deriva dalla condizione di tipo statico
Si riportano le istruzioni MATLAB® utilizzabili per la soluzione del sistema di equazioni differenziali.
Da cui si ottiene la seguente soluzione in termini di spostamenti incogniti
Per derivazione si ottiene la soluzione in termini di sforzi normali sui due domini
Sottoparagrafo 3.7.3 trave iperstatica soggetta ad un incremento termico omogeneo
La presenza dell'incremento di temperatura determina un allungamento della trave pari a
dove \(\alpha\) rappresenta il coefficiente di dilatazione termica del materiale. Tale allungamento è comunque impedito dalla presenza dei vincoli pertanto la trave sarà anche soggetta ad uno sforzo normale calcolabile dalla seguente equazione
da cui si ottiene
soluzione che mostra lo stato di compressione determinato dall'allungamento impedito. La soluzione in termini di spostamento è identicamente nulla su tutto la lunghezza.
Sottoparagrafo 3.7.4 trave iperstatica soggetta a carico ripartito sinusoidale
La condizione di carico mostrata in Figura può essere descritta come segue
da cui, tramite l'equazione (3.5.21), si ricava
da soddisfare in ogni punto della trave. Le condizioni al contorno sono
Seguono le istruzione MATLAB® per il calcolo della soluzione \(\func{u}{x}\text{.}\)
Si ottiene così la soluzione in termini di spostamento
e di sforzo normale