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Introduzione alla meccanica dei solidi

Antonio Bilotta

Section 3.7 applicazioni del modello di trave tesa

Subsection 3.7.1 trave semplicemente tesa

Utilizzando l’equazione (3.5.21) si calcoli la soluzione elastica per il seguente schema.
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Figure 3.7.1.
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Per l’assenza di carico ripartito l’equazione da risolvere diventa
\begin{equation*} EA\,\frac{d^2u}{dx^2} = 0\,, \end{equation*}
che ha come integrale generale
\begin{equation*} \func{u}{x} = c_0 + c_1 x\,. \end{equation*}
Le costanti di integrazione sono valutabili imponendo le condizioni al contorno
\begin{align*} \amp \func{u}{0} = 0\,,\\ \amp \func{N}{l} = EA\, \func{\frac{du}{dx}}{l} = F\,. \end{align*}
Da cui si ottiene
\begin{equation*} c_0 = 0\,, \quad c_1 = \frac{F}{EA}\,. \end{equation*}
Quindi il campo di spostamento assume la seguente espressione
\begin{equation*} \func{u}{x} = \frac{F}{EA} x\,, \end{equation*}
con cui è possibile valutare lo sforzo normale lungo l’asta e, ad esempio, lo spostamento all’estremo libero
\begin{align*} \amp \func{N}{x} = EA \func{\frac{du}{dx}}{x} = F\,,\\ \amp \func{u}{l} = \frac{F}{EA} l\,, \end{align*}
quest’ultimo coincide con l’allungamento totale dell’asta valutabile anche come segue
\begin{equation*} \Delta l = \int_l \varepsilon \,dx = \int_l \frac{du}{dx} \,dx = \int_l \frac{F}{EA} \,dx = \frac{F}{EA} \int_l \,dx = \frac{F}{EA} l\,. \end{equation*}
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soluzione tramite MATLAB®.

L’integrale generale può essere calcolato utilizzando le seguenti istruzioni.
Listing 3.7.2.
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$ syms u(x) EA;
ode = EA*diff(u,x,2) == 0
dsolve(ode)
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La soluzione che verifica anche le condizioni al contorno assegnate si ottiene invece con le seguenti istruzioni.
Listing 3.7.3.
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$ syms u(x) EA F l;
Du = diff(u);
ode = EA*diff(u,x,2) == 0;
cond1 = u(0) == 0;
cond2 = EA*Du(l) == F;
conds = [cond1 cond2];
dsolve(ode,conds)
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Subsection 3.7.2 trave iperstatica con discontinuità

Figure 3.7.4.
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Lo schema assegnato si differenzia dallo schema considerato nella sezione precedente perché la soluzione elastica da valutare non ha un’unica espressione valida sul tutto il dominio della trave. La forza applicata all’interno dell’estensione della trave determina una discontinuità nella soluzione e quindi la necessità di studiare il problema sui due sottodimini, \(0\leq x \leq a\) e \(a\leq x \leq l\text{,}\) evidenziati in Figura. Si procede quindi valutando due soluzioni elastiche differenti ma connesse dalle necessarie condizioni al contorno all’interfaccia.
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L’equazione di equilibrio, (3.5.21), applicata ai due sottodomini della trave sono formulabili come segue
\begin{align*} \amp EA\,\frac{d^2u_a}{dx^2} = 0\,,\quad 0 \leq x \leq a\,,\\ \amp EA\,\frac{d^2u_b}{dx^2} = 0\,,\quad a \leq x \leq l\,. \end{align*}
Si ottiene quindi un sistema di 2 equazioni differenziali dove le incognite, \(u_a\) e \(u_b\text{,}\) sono disaccopiate. Incognite che comunque interagiscono nelle condizioni al contorno. In particolare tali condizioni sono espresse dalle seguenti equazioni
\begin{align*} \amp \func{u_a}{0} = 0\,,\\ \amp \func{u_b}{l} = 0\,,\\ \amp \func{u_a}{a} = \func{u_b}{a}\,,\\ \amp EA\, \func{\frac{du_a}{dx}}{a} - EA\, \func{\frac{du_b}{dx}}{a} = F\,, \end{align*}
dove l’ultima equazione deriva dalla condizione di tipo statico
\begin{equation*} \func{N_a}{a} - \func{N_b}{a} = F\,. \end{equation*}
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Si riportano le istruzioni MATLAB® utilizzabili per la soluzione del sistema di equazioni differenziali.
Listing 3.7.5.
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$ syms ua(x) ub(x) EA F l a;
Dua = diff(ua);
Dub = diff(ub);
ode1 = EA*diff(ua,x,2) == 0;
ode2 = EA*diff(ub,x,2) == 0;
odes = [ode1; ode2];
cond1 = ua(0) == 0;
cond2 = ub(l) == 0;
cond3 = ua(a) == ub(a);
cond4 = EA*Dua(a) - EA*Dub(a) == F;
conds = [cond1 cond2 cond3 cond4];
sols = dsolve(odes,conds);
sols.ua
sols.ub
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Da cui si ottiene la seguente soluzione in termini di spostamenti incogniti
\begin{align*} u_a \amp= \frac{F}{EA}\frac{l-a}{l}\,x\,,\quad 0 \leq x \leq a\,,\\ u_b \amp= \frac{F}{EA}\frac{l-x}{l}\,a\,,\quad a \leq x \leq l\,. \end{align*}
Per derivazione si ottiene la soluzione in termini di sforzi normali sui due domini
\begin{align*} N_a \amp= EA\, \frac{du_a}{dx} = F\,\frac{l-a}{l}\,,\quad 0 \leq x \leq a\,,\\ N_b \amp= EA\, \frac{du_b}{dx} = -F\,\frac{a}{l}\,,\quad a \leq x \leq l\,. \end{align*}
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Subsection 3.7.3 trave iperstatica soggetta ad un incremento termico omogeneo

Figure 3.7.6.
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La presenza dell’incremento di temperatura determina un allungamento della trave pari a
\begin{equation*} \Delta l_T = \alpha \Delta T \,l\,, \end{equation*}
dove \(\alpha\) rappresenta il coefficiente di dilatazione termica del materiale. Tale allungamento è comunque impedito dalla presenza dei vincoli pertanto la trave sarà anche soggetta ad uno sforzo normale calcolabile dalla seguente equazione
\begin{equation*} \Delta l_T + \Delta l_N = \alpha \Delta T \,l + \frac{N}{EA} \,l = 0\,, \end{equation*}
da cui si ottiene
\begin{equation*} N = - EA \,\alpha \Delta T\,, \end{equation*}
soluzione che mostra lo stato di compressione determinato dall’allungamento impedito. La soluzione in termini di spostamento è identicamente nulla su tutto la lunghezza.
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Subsection 3.7.4 trave iperstatica soggetta a carico ripartito sinusoidale

Figure 3.7.7.
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La condizione di carico mostrata in Figura può essere descritta come segue
\begin{equation*} \func{p}{x} = \bar{p}\,\sin\left(\frac{2\pi\,x}{l}\right) \end{equation*}
da cui, tramite l’equazione (3.5.21), si ricava
\begin{equation*} EA\,\frac{d^2u}{dx^2} + \bar{p}\,\sin\left(\frac{2\pi\,x}{l}\right) = 0 \end{equation*}
da soddisfare in ogni punto della trave. Le condizioni al contorno sono
\begin{align*} \amp \func{u}{0} = 0\,,\\ \amp \func{u}{l} = 0\,. \end{align*}
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Seguono le istruzione MATLAB® per il calcolo della soluzione \(\func{u}{x}\text{.}\)
Listing 3.7.8.
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$ syms u(x) EA p l;
ode = EA*diff(u,x,2) + p*sin(2*pi*x/l) == 0;
cond1 = u(0) == 0;
cond2 = u(l) == 0;
conds = [cond1 cond2];
sol = dsolve(ode,conds)
N = EA*diff(sol,x)
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Si ottiene così la soluzione in termini di spostamento
\begin{equation*} \func{u}{x} = \frac{\bar{p}}{EA} \frac{l^2}{4\pi^2} \sin\left(\frac{2\pi\,x}{l}\right) \end{equation*}
e di sforzo normale
\begin{equation*} \func{N}{x} = \bar{p} \frac{l}{2\pi} \cos\left(\frac{2\pi\,x}{l}\right)\,. \end{equation*}
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