Solid Mechanics - modelli monodimensionali: trave inflessa

Paragrafo 3.6 modelli monodimensionali: trave inflessa

Nel descrivere il modello di trave inflessa si segue lo stesso schema adottato nella precedente sezione per la trave tesa. Si evita quindi di ripetere le considerazioni alla base della riduzione monodimensionale e le osservazioni fatte durante la presentazione del modello della trave tesa, osservazioni che nel presente contesto continuerebbero a valere senza alcuna modifica. Nella trattazione che segue ovviamente si prende come riferimento una soluzione 3D differente ovvero la soluzione trovata per il solido prismatico semplicemnte inflesso, si veda la Sottoparagrafo 3.4.2.

Sottoparagrafo 3.6.1 il riferimento dato dalla linea d'asse

Il campo di spostamento ottenuto per il solido prismatico inflesso, equazioni (3.4.25), (3.4.26) e (3.4.27), lungo la linea d'asse si riduce a

\begin{align} u_{1} \amp = 0\,,\tag{3.6.1}\\ u_{2} \amp = -\frac{\kappa}{2E}X_3^2\,,\tag{3.6.2}\\ u_{3} \amp = 0\,,\tag{3.6.3} \end{align}

soluzione che stabilisce che la linea d'asse si deforma seguendo una parabola contenuta nel piano \(X_3\text{,}\) \(X_2\) e tutto è determinato solo dallo spostamento \(u_{2}\) diretto trasversalmente all'asse.

Il principale obiettivo rimane comunque quello di descrivere la deformazione \(\varepsilon_{33}\) dipendendente dallo spostamento \(u_3\) che sulla linea d'asse si annulla. La descrizione della componente \(u_3\) è comunque recuperabile osservando che

\begin{equation} u_3 = \kappa\,X_2X_3/E = - X_2 \frac{d u_2}{d X_3}\,,\tag{3.6.4} \end{equation}

che evidenzia il legame di \(u_3\) con lo spostamento \(u_2\) della linea d'asse. Su tale base si può valutare la componente \(\varepsilon_{33}\) ottenendo

\begin{equation} \varepsilon_{33} = \frac{d}{dX_3}\left(u_3\right) = \frac{d}{dX_3}\left(-X_2 \frac{d u_2}{d X_3}\right) = -X_2 \frac{d^2 u_2}{dX_3^2}\,,\tag{3.6.5} \end{equation}

relazione che evidenzia il tipo di legame fra \(\varepsilon_{33}\) e la componente di spostamento \(u_{2}\) della linea d'asse.

Quanto discusso può essere riformulato sulla base della notazione correntemente utilizzata, si veda la Figura seguente, nel modello di trave piana inflessa.

Pertanto la variabile cinematica del modello monodimensionale è lo spostamento trasversale \(\func{w}{x}\) e l'unica componente di deformazione significativa per il modello è

\begin{equation} \varepsilon = - y \frac{d^2 w}{dx^2}\,.\tag{3.6.6} \end{equation}

Sottoparagrafo 3.6.2 il lavoro interno

La formulazione monodimensionale del lavoro interno (3.5.1) diventa quindi

\begin{align*} L_i \amp = \int_{\body} \sigma\varepsilon \, dV\\ \amp = \int_{l}\int_{A} \sigma \left(- y \frac{d^2 w}{dx^2} \right) \, dS \,dx\\ \amp = \int_{l}\int_{A} \sigma\, y \, dS \left(- \frac{d^2 w}{dx^2} \right) \,dx\\ \amp = \int_{l} M \left(- \frac{d^2 w}{dx^2} \right) \,dx\,,\\ \amp = \int_{l} M \chi \,dx\,, \end{align*}

e quindi

\begin{equation} L_i = \int_{l} M \chi \,dx\,.\tag{3.6.7} \end{equation}

Dove sono stati introdotti

\begin{equation} M =\int_{A} \sigma\,y \, dS\,,\label{trave_inflessa_M}\tag{3.6.8} \end{equation}

ovvero il momento flettente che è l'ente statico del modello monondimensionale e

\begin{equation} \chi = - \frac{d^2 w}{dx^2}\,,\label{trave_inflessa_chi}\tag{3.6.9} \end{equation}

che rappresenta la curvatura, ente cinematico su cui compie lavoro \(M\text{.}\) Dimensionalmente \(M\) è \(\left[\text{F}\,\text{L}\right]\) e \(\chi\) è \(\left[1/\text{L}\right]\text{.}\)

Sottoparagrafo 3.6.3 il legame elastico

La definizione del legame elastico per il modello monodimensionale si ottiene rielaborando la (3.6.8) come segue

\begin{align*} M \amp=\int_{A} \sigma\,y \, dS = \int_{A} E\varepsilon \,y \,dS = \int_{A} E\left(- y \frac{d^2 w}{dx^2} \right) \,y \,dS\\ \amp= E \int_{A} y^2 \,dS \left(- \frac{d^2 w}{dx^2} \right) = EJ\, \chi \,, \end{align*}

e quindi

\begin{equation} M = EJ\, \chi \,.\tag{3.6.10} \end{equation}

Relazione che evidenzia come il coefficiente di proporzionalità che definisce il legame fra \(M\) ed \(\chi\) sia dato dal prodotto fra il modulo di Young del materiale ed il momento d'inerzia della sezione della trave, \(J =\int_{A} y^2 \,dS\text{.}\)

Sottoparagrafo 3.6.4 il lavoro esterno

Anche per la trave inflessa, come già fatto per la trave tesa, il modello non si limita a trattare solo i carichi esterni relativi alla soluzione 3D presa come riferimento, carichi raffigurati qui di seguito.

Si ammette invece un'assegnazione dei carichi esterni del tipo mostrato in nella seguente Figura.

Si introduce quindi il carico per unità di lughezza \(\func{q}{x}\text{,}\) carico trasversale all'asse della trave e diretto come indicato in Figura. Su ciascuno estremo della trave si ha una coppia concentrata ed una forza concentrata verticale. Il lavoro esterno assume quindi la seguente espressione

\begin{equation*} L_e = \int_{l} \func{q}{x}\,\func{w}{x}\, dx + V_{0} \,\func{w}{0} + V_{l} \,\func{w}{l} + \mathcal{M}_{0} \,\func{\varphi}{0} + \mathcal{M}_{l} \,\func{\varphi}{l}\,, \end{equation*}

dove le coppie di estremità compiono lavoro sulle rotazioni della trave, rotazioni che sono legate allo spostamento trasversale \(\func{w}{x}\) mediante la relazione

\begin{equation} \varphi = -\frac{dw}{dx}\,.\tag{3.6.11} \end{equation}

Da cui si ricava la seguente espressione del lavoro esterno

\begin{equation*} L_e = \int_{l} \func{q}{x}\,\func{w}{x}\, dx + V_{0} \,\func{w}{0} + V_{l} \,\func{w}{l} - \mathcal{M}_{0} \,\func{\frac{dw}{dx}}{0} - \mathcal{M}_{l} \,\func{\frac{dw}{dx}}{l}\,. \end{equation*}

In conseguenza di tale scelta la variabilità di \(\func{w}{x}\) viene estesa oltre l'andamento quadratico, mentre momento flettente e curvatura, a differenza della soluzione 3D da cui si è partiti, possono essere più che costanti e descritti dalle funzioni generiche \(\func{M}{x}\) e \(\func{\chi}{x}\text{.}\)

Sottoparagrafo 3.6.5 principio dei lavori virtuali ed equazioni di equilibrio

Per il nostro modello di trave inflessa il principio dei lavori è formulabile come segue

\begin{equation} \delta L_i = \delta L_e\,,\quad \forall\,\delta w\,.\tag{3.6.12} \end{equation}

Dove

\begin{equation} \delta L_i = \int_{l} M \delta\chi \,dx\,, \quad \left(\delta\chi=- \frac{d^2 \delta w}{dx^2}\right)\tag{3.6.13} \end{equation}

\begin{equation} \begin{split} \delta L_e = \int_{l} \func{q}{x}\,\func{\delta w}{x}\, dx +\amp \\ + V_{0} \,\func{\delta w}{0} + V_{l} \,\func{\delta w}{l}\amp - \mathcal{M}_{0} \,\func{\frac{d\delta w}{dx}}{0} - \mathcal{M}_{l} \,\func{\frac{d\delta w}{dx}}{l}\,. \end{split}\tag{3.6.14} \end{equation}

A questo punto occorre applicare due volte l'integrazione per parti al lavoro interno al fine di estrarre le equazioni di equilibrio e le condizioni al contorno di tipo statico. La doppia integrazione per parti fornisce

\begin{align*} \delta L_i \amp = \int_{l} M \left(- \frac{d^2 \delta w}{dx^2}\right) \,dx \\ \amp = \left[-M \frac{d \delta w}{dx} \right]_0^l + \int_{l} \frac{d M}{dx} \frac{d \delta w}{dx} \,dx \\ \amp = \left[-M \frac{d \delta w}{dx} \right]_0^l + \left[\frac{d M}{dx} \delta w\right]_0^l - \int_{l} \frac{d^2 M}{dx^2} \delta w \,dx \\ \amp = -\func{M}{l} \func{\frac{d \delta w}{dx}}{l} + \func{M}{0} \func{\frac{d \delta w}{dx}}{0} + \func{\frac{d M}{dx}}{l}\func{\delta w}{l} - \func{\frac{d M}{dx}}{0} \func{\delta w}{0} - \int_{l} \frac{d^2 M}{dx^2} \delta w \,dx\,. \end{align*}

L'uguaglianza fra lavoro interno e lavoro esterno diventa pertanto

\begin{equation} \begin{split} -\func{M}{l} \func{\frac{d \delta w}{dx}}{l} + \func{M}{0} \func{\frac{d \delta w}{dx}}{0} + \func{\frac{d M}{dx}}{l}\func{\delta w}{l} - \func{\frac{d M}{dx}}{0} \func{\delta w}{0} +\\ - \int_{l} \frac{d^2 M}{dx^2} \delta w \,dx = \int_{l} \func{q}{x}\,\func{\delta w}{x}\, dx + V_{0} \,\func{\delta w}{0} + V_{l} \,\func{\delta w}{l} +\\ - \mathcal{M}_{0} \,\func{\frac{d\delta w}{dx}}{0} - \mathcal{M}_{l} \,\func{\frac{d\delta w}{dx}}{l}\,,\quad \forall\,\delta w\,. \end{split}\tag{3.6.15} \end{equation}

Da cui si ricavano le seguenti equazioni

\begin{align} \delta w:\amp \quad \frac{d^2 M}{dx^2} + \func{q}{x} = 0\,,\;\; 0 \leq x \leq l \tag{3.6.16}\\ \func{\delta w}{0}:\amp \quad \func{\frac{d M}{dx}}{0} = -V_0\,,\;\; x = 0 \tag{3.6.17}\\ \func{\delta w}{l}:\amp \quad \func{\frac{d M}{dx}}{l} = V_l\,,\;\; x = l \tag{3.6.18}\\ \func{\frac{d\delta w}{dx}}{0}:\amp \quad \func{M}{0} = -\mathcal{M}_0\,,\;\; x = 0 \tag{3.6.19}\\ \func{\frac{d\delta w}{dx}}{l}:\amp \quad \func{M}{l} = \mathcal{M}_l\,,\;\; x = l \tag{3.6.20} \end{align}

Sottoparagrafo 3.6.6 riepilogo del modello

Carichi
\begin{equation*} \func{q}{x}\quad \mathcal{M}_0 \quad \mathcal{M}_l \quad V_0 \quad V_l \end{equation*}
Incognite
\begin{equation*} \func{w}{x}\quad\func{\chi}{x}\quad\func{M}{x} \end{equation*}
Lavoro interno
\begin{equation} L_i = \int_{l} M \chi \,dx\,.\tag{3.6.21} \end{equation}
Lavoro esterno
\begin{equation} \begin{split} L_e = \int_{l} \func{q}{x}\,\func{w}{x}\, dx + V_{0} \,\func{w}{0} + V_{l} \,\func{w}{l} +\\ - \mathcal{M}_{0} \,\func{\frac{dw}{dx}}{0} - \mathcal{M}_{l} \,\func{\frac{dw}{dx}}{l} \,. \end{split}\tag{3.6.22} \end{equation}
Legame spostamento-deformazione
\begin{equation} \chi = - \frac{d^2 w}{dx^2}\tag{3.6.23} \end{equation}
Legame elastico
\begin{equation} M = EJ\,\chi\tag{3.6.24} \end{equation}
Equazioni di equilibrio
\begin{equation} \frac{d^2 M}{dx^2} + \func{q}{x} = 0\tag{3.6.25} \end{equation}
Eventuali condizioni al contorno di tipo statico
\begin{align} \func{\frac{d M}{dx}}{0} \amp= -V_0\tag{3.6.26}\\ \func{\frac{d M}{dx}}{l} \amp= V_l\tag{3.6.27}\\ \func{M}{0} \amp= -\mathcal{M}_0 \tag{3.6.28}\\ \func{M}{l} \amp= \mathcal{M}_l \tag{3.6.29} \end{align}
Eventuali condizioni al contorno di tipo cinematico
\begin{align} \func{w}{0} \amp= \bar{w}_{0}\tag{3.6.30}\\ \func{w}{l} \amp= \bar{w}_{l}\tag{3.6.31}\\ -\func{\frac{dw}{dx}}{0} \amp= \bar{\varphi}_0\tag{3.6.32}\\ -\func{\frac{dw}{dx}}{l} \amp= \bar{\varphi}_l\tag{3.6.33} \end{align}

Anche per il modello di trave inflessa le equazioni del modello possono essere utilizzate per eliminare dalle incognite \(M\) e \(\chi\) e mantenere solo lo spostamento \(\func{w}{x}\text{.}\) I seguenti passaggi mostrano come ottenere tale risultato

\begin{align*} \frac{d^2 M}{dx^2} + q \amp= 0\\ \frac{d^2}{d x^2}\left(EJ\,\chi\right) + q \amp= 0\\ \frac{d^2}{d x^2}\left(EJ\, \left( -\frac{d^2 w}{dx^2} \right)\right) + q \amp= 0 \end{align*}

da cui

\begin{equation} -EJ\,\frac{d^4w}{dx^4} + q = 0\,.\label{bent_beam_navier}\tag{3.6.34} \end{equation}