Solid Mechanics - il problema elastico

Paragrafo 3.4 il problema elastico

La definizione del legame elastico fornita nelle precedenti sezioni consente di formulare in termini ben posti il seguente problema noto come problema elastico.

Determinazione dei campi di spostamento, \(\vec{u}\text{,}\) di tensione, \(\tens{\sigma}\text{,}\) ed di deformazione, \(\tens{\varepsilon}\text{,}\) indotti dalle condizioni di carico assegnate in un corpo \(\body\) comunque vincolato.

Dare una risposta al quesito posto richiede la soluzione simultanea delle seguenti equazioni definite su tutti i punti del corpo \(\body\) in esame.

Equazioni di equilibrio (Capitolo 2)
\begin{equation} \text{div}\tens{\sigma} + \vec{b} = \vec0\,.\label{ep_1_eq}\tag{3.4.1} \end{equation}
Legame deformazione-spostamento (Capitolo 1)
\begin{equation} \tens{\varepsilon} = \text{sym}\tens{\nabla u}\,.\label{ep_2_eq}\tag{3.4.2} \end{equation}
Legame elastico (Capitolo 3)
\begin{equation} \tens{\sigma} = \tensQ{C}:\tens{\varepsilon}\,.\label{ep_3_eq}\tag{3.4.3} \end{equation}

Per completare la formulazione del problema è necessario assegnare anche le condizioni al contorno che, in generale, possono essere di due tipi: di tipo statico sulla parte di contorno \(\partial\body_{\vec{t}}\) e di tipo cinematico sulla parte di contorno \(\partial\body_{\vec{u}}\text{.}\) Si osserva che \(\partial\body=\partial\body_{\vec{u}}+\partial\body_{\vec{t}}\text{.}\)

Condizioni al contorno di tipo statico, definite su \(\partial\body_{\vec{t}}\)
\begin{equation} \tens{\sigma}\,\vec{n} = \bar{\vec{t}}\,.\label{ep_4_eq}\tag{3.4.4} \end{equation}
Condizioni al contorno di tipo cinematico, definite su \(\partial\body_{\vec{u}}\)
\begin{equation} \vec{u} = \bar{\vec{u}}\,.\label{ep_5_eq}\tag{3.4.5} \end{equation}

Sottoparagrafo 3.4.1 motivazione di inizio capitolo: il solido prismatico semplicemente teso

A questo punto possiamo riprendere il problema del solido prismatico soggetto a trazione presentato nella Paragrafo 3.1 all'inizio del presente capitolo.

La soluzione statica già trovata, comunque corretta perché soddisfa le equazioni di equilibrio (3.4.1) all'interno del solido e le condizioni di tipo statico sul contorno (3.4.4), è

\begin{equation} \sigma_{11} = \sigma_{22} = \sigma_{12} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\,\quad \sigma_{33} = \bar{t}\,.\tag{3.4.6} \end{equation}

Sulla base del legame elastico isotropo (3.3.11), è adesso possibile calcolare il tensore della deformazione le cui uniche componenti non nulle sono

\begin{align} \amp \varepsilon_{33} = \frac{\sigma_{33}}{E} = \frac{\bar{t}}{E}\,,\label{eps33_eq}\tag{3.4.7}\\ \amp \varepsilon_{22} = -\nu\,\varepsilon_{33} = -\nu\,\frac{\bar{t}}{E}\,,\label{eps22_eq}\tag{3.4.8}\\ \amp \varepsilon_{11} = -\nu\,\varepsilon_{33} = -\nu\,\frac{\bar{t}}{E}\,,\label{eps11_eq}\tag{3.4.9} \end{align}

quindi un campo di deformazione costante e omogeneo su tutto il solido.

Il legame deformazione-spostamento (3.4.2) consente la determinazione del campo di spostamento. Infatti la scrittura esplicita del legame, si veda la (1.9.4), fornisce

\begin{align*} \varepsilon_{11} = \frac{\partial u_1}{\partial X_1}\,,\amp\qquad \varepsilon_{23} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_2}{\partial X_3} + \frac{\partial u_3}{\partial X_2}\right)\,,\\ \varepsilon_{22} = \frac{\partial u_2}{\partial X_2}\,,\amp\qquad \varepsilon_{31} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_3}{\partial X_1} + \frac{\partial u_1}{\partial X_3}\right)\,,\\ \varepsilon_{33} = \frac{\partial u_3}{\partial X_3}\,,\amp\qquad \varepsilon_{12} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_1}{\partial X_2} + \frac{\partial u_2}{\partial X_1}\right)\,. \end{align*}

Sostituendo i valori delle componenti di deformazione ricavate nelle (3.4.7)-(3.4.9) mediante il legame elastico si ottiene

\begin{align} -\nu\,\frac{\bar{t}}{E}\ = \frac{\partial u_1}{\partial X_1}\,,\amp\qquad 0 = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_2}{\partial X_3} + \frac{\partial u_3}{\partial X_2}\right)\,,\tag{3.4.10}\\ -\nu\,\frac{\bar{t}}{E}= \frac{\partial u_2}{\partial X_2}\,,\amp\qquad 0 = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_3}{\partial X_1} + \frac{\partial u_1}{\partial X_3}\right)\,,\tag{3.4.11}\\ \frac{\bar{t}}{E} = \frac{\partial u_3}{\partial X_3}\,,\amp\qquad 0 = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_1}{\partial X_2} + \frac{\partial u_2}{\partial X_1}\right)\,.\tag{3.4.12} \end{align}

Equazioni per le quali è facile verificare che una soluzione è data da

\begin{equation} u_1 = -\nu\,\frac{\bar{t}}{E} \, X_1\,,\quad u_2 = -\nu\,\frac{\bar{t}}{E} \, X_2\,,\quad u_3 = \frac{\bar{t}}{E} \, X_3\,.\label{motivation_displ_eq}\tag{3.4.13} \end{equation}

Al riguardo si osserva che si parla di una soluzione in quanto sommando a tale campo di spostamento tutti i possibili moti rigidi, che nel problema assegnato non sono esplicitamente eliminati, si otterrebbe sempre la stessa soluzione in termini di campi di tensione e deformazione.

verifica.

Sulla base del campo di spostamento definito dalle (3.4.13) si utilizzino le seguenti istruzioni MATLAB® per calcolare i relativi campi di deformazione e di tensione.

syms t E ni;
X = sym('X', [1 3]);
u = sym('u', [1 3]);
u(1) = -ni*t/E * X(1);
u(2) = -ni*t/E * X(2);
u(3) = t/E * X(3);

Du = [transpose(gradient(u(1), X)); ...
transpose(gradient(u(2), X)); transpose(gradient(u(3), X))];

symDu = 1/2*(Du+transpose(Du))

Voigt_eps = [symDu(1,1); symDu(2,2); symDu(3,3); ...
2*symDu(2,3); 2*symDu(3,1); 2*symDu(1,2)];

Voigt_C = E/((1+ni)*(1-2*ni))*[(1-ni) ni ni 0 0 0; ...
 ni (1-ni) ni 0 0 0; ...
 ni ni (1-ni) 0 0 0; ...
 0 0 0 (1-2*ni)/2 0 0; ...
 0 0 0 0 (1-2*ni)/2 0; ...
 0 0 0 0 0 (1-2*ni)/2];

Voigt_sig = Voigt_C*Voigt_eps;
simplify(Voigt_sig)

Listato 3.4.2.

Sottoparagrafo 3.4.2 il solido prismatico semplicemente inflesso

Quanto ottenuto per il solido prismatico soggetto a campi di trazione uniformi alle estremità può essere facilmente esteso al caso in cui le trazioni applicate alle estremità abbiano l'andamento lineare mostrato nella figura seguente.

Sotto-sottoparagrafo 3.4.2.1 analisi statica

La formulazione della parte statica del problema è identica a quella fatta per il solido prismatico semplicemente teso eccetto per le facce di estremità del solido sulle quali le trazioni applicate assumono la seguente espressione

\begin{align} \Sigma_1:\amp\quad \matWp{t}{1} = \left[\begin{array}{c}0\\0\\-\frac{\bar{t}}{H/2}\,X_2\end{array}\right] \,,\tag{3.4.14}\\ \Sigma_2:\amp\quad \matWp{t}{2} = \left[\begin{array}{c}0\\0\\\frac{\bar{t}}{H/2}\,X_2 \end{array}\right] \,,\tag{3.4.15} \end{align}

dove \(H\) rappresenta l'altezza del solido lungo la direzione \(X_2\) e \(\bar{t}\) è l'intensità della trazione applicata sui lembi superiore ed inferiore.

Anche in questo caso si può procedere assumendo una soluzione di tentativo per il tensore della tensione per poi verificare il soddisfacimento delle equazioni di equilibrio e delle condizioni al contorno. In particolare per \(\tens{\sigma}\) si assume la seguente forma

\begin{equation} \mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc} 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp \kappa\,X_2 \end{array}\right]\tag{3.4.16} \end{equation}

valida su tutto il dominio e con \(\kappa\) una costante generica. Con tale assunzione la scrittura delle equazioni equilibrio fornisce

\begin{equation*} \begin{array}{l} \frac{\partial\, 0}{\partial\, X_1} + \frac{\partial\, 0}{\partial\, X_2} + \frac{\partial\, 0}{\partial\, X_3} = 0\\ \frac{\partial\, 0}{\partial\, X_1} + \frac{\partial\, 0}{\partial\, X_2} + \frac{\partial\, 0}{\partial\, X_3} = 0\\ \frac{\partial\, 0}{\partial\, X_1} + \frac{\partial\, 0}{\partial\, X_2} + \frac{\partial\, (\kappa\,X_2)}{\partial\, X_3} = 0 \end{array} \quad\;\text{in}\;\body_0\,, \end{equation*}

da cui si evince il loro soddisfacimento.

Ripercorrendo gli stessi passi fatti nella Sotto-sottoparagrafo 3.1.1.1 per il solido semplicemente teso, si passa alla verifica o imposizione delle condizione al contorno. In particolare si verifica facilmente il soddisfacimento della (3.1.6), infatti

\begin{equation*} \left[\begin{array}{ccc} 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp \kappa\,X_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{r}n_1\\n_2\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right] \,. \end{equation*}

La condizione (3.1.4) fornisce

\begin{equation*} \left[\begin{array}{ccc} 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp \kappa\,X2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{r}0 \\ 0\\-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\\-\frac{\bar{t}}{H/2}\,X_2\end{array}\right] \quad \rightarrow \quad \kappa = \frac{\bar{t}}{H/2} \,. \end{equation*}

Lo stesso risultato verrebbe fornito dalla condizione (3.1.5).

In conclusione il campo di tensione che soddisfa tutte le equazioni di equilibrio in gioco è

\begin{equation} \mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc} 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp \frac{\bar{t}}{H/2}\,X_2 \end{array}\right]\,.\label{bend_stress_eq}\tag{3.4.17} \end{equation}

Quindi la soluzione statica è data da uno stato di trazione pura nella direzione \(X_3\) distribuito linearmente lungo l'asse \(X_2\text{.}\) Per maggiore comodità degli sviluppi successivi continueremo ad utilizzare l'espressione \(\sigma_{33}=\kappa\,X_2\) ricordando comunque che \(\kappa=\frac{\bar{t}}{H/2}\text{.}\)

Osservazione 3.4.4.

Analogamente al solido semplicemente, si noti come la soluzione ottenuta coivolga solo la componente \(\sigma_{33}\) del tensore. Differisce solo la forma della soluzione che invece di essere costante è lineare lungo lasse \(X_2\text{.}\)

Sotto-sottoparagrafo 3.4.2.2 dalla tensione agli spostamenti

Per risalire alla soluzione in termini di spostamenti occorre prima utilizzare il legame elastico per valutare le componenti del tensore di deformazione ed ottenere quanto segue

\begin{align} \amp \varepsilon_{33} = \frac{\sigma_{33}}{E} = \frac{\kappa\,X_2}{E}\,,\label{bend_eps33_eq}\tag{3.4.18}\\ \amp \varepsilon_{22} = -\nu\,\varepsilon_{33} = -\nu\,\frac{\kappa\,X_2}{E}\,,\label{bend_eps22_eq}\tag{3.4.19}\\ \amp \varepsilon_{11} = -\nu\,\varepsilon_{33} = -\nu\,\frac{\kappa\,X_2}{E}\,,\label{bend_eps11_eq}\tag{3.4.20}\\ \amp \varepsilon_{12} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\,.\label{bend_epsij_eq}\tag{3.4.21} \end{align}

Tali valori delle componenti di deformazione consentono di imporre il legame deformazione-spostamento (3.4.2) nei seguenti termini

\begin{align} -\nu\,\frac{\kappa\,X_2}{E}\ = \frac{\partial u_1}{\partial X_1}\,,\amp\qquad 0 = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_2}{\partial X_3} + \frac{\partial u_3}{\partial X_2}\right)\,,\tag{3.4.22}\\ -\nu\,\frac{\kappa\,X_2}{E}= \frac{\partial u_2}{\partial X_2}\,,\amp\qquad 0 = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_3}{\partial X_1} + \frac{\partial u_1}{\partial X_3}\right)\,,\tag{3.4.23}\\ \frac{\kappa\,X_2}{E} = \frac{\partial u_3}{\partial X_3}\,,\amp\qquad 0 = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_1}{\partial X_2} + \frac{\partial u_2}{\partial X_1}\right)\,.\tag{3.4.24} \end{align}

La cui soluzione, un pò meno diretta del caso del solido semplicemente teso, fornisce il seguente risultato

\begin{align} u_{1} \amp = -\nu\frac{\kappa}{E}\,X_1 X_2\,,\label{bend_displ_1}\tag{3.4.25}\\ u_{2} \amp = -\frac{\kappa}{2E}\left[X_3^2 +\nu\left(X_2^2 - X_1^2 \right)\right]\,,\label{bend_displ_2}\tag{3.4.26}\\ u_{3} \amp = \frac{\kappa}{E}\,X_2 X_3\,.\label{bend_displ_3}\tag{3.4.27} \end{align}

verifica.

Sulla base del campo di spostamento definito dalle (3.4.25), (3.4.26), (3.4.27) è possibile verificare il risultato ottenuto con le seguenti istruzioni MATLAB®.

syms E ni k;
X = sym('X', [1 3]);
u = sym('u', [1 3]);
u(1) = -ni*k/E * X(1) * X(2);
u(2) = -k/(2*E) * ( X(3)^2 + ni*(X(2)^2-X(1)^2) );
u(3) = k/E * X(2) * X(3);

Du = [transpose(gradient(u(1), X)); ...
transpose(gradient(u(2), X)); transpose(gradient(u(3), X))];

symDu = 1/2*(Du+transpose(Du))

Voigt_eps = [symDu(1,1); symDu(2,2); symDu(3,3); ...
2*symDu(2,3); 2*symDu(3,1); 2*symDu(1,2)];

Voigt_C = E/((1+ni)*(1-2*ni))*[(1-ni) ni ni 0 0 0; ...
 ni (1-ni) ni 0 0 0; ...
 ni ni (1-ni) 0 0 0; ...
 0 0 0 (1-2*ni)/2 0 0; ...
 0 0 0 0 (1-2*ni)/2 0; ...
 0 0 0 0 0 (1-2*ni)/2];

Voigt_sig = Voigt_C*Voigt_eps;
simplify(Voigt_sig)

Listato 3.4.5.

Sottoparagrafo 3.4.3 riepilogo

Si riporta una sintesi delle soluzioni trovate per i solidi prismatici seplicemente teso ed inflesso al fine anche di mostrare le evidenti analogie. Per ogni campo trovato, tensione, deformazione e spostamento, si riportano solo le componenenti non nulle.

Tabella 3.4.6.

	solido teso	solido inflesso
\(\sigma_{33}\)	\(\kappa\)	\(\kappa\,X_2\)
\(\varepsilon_{11}\)	\(-\nu\kappa/E\)	\(-\nu\kappa\,X_2/E\)
\(\varepsilon_{22}\)	\(-\nu\kappa/E\)	\(-\nu\kappa\,X_2/E\)
\(\varepsilon_{33}\)	\(\kappa/E\)	\(\kappa\,X_2/E\)
\(u_{1}\)	\(-\nu\kappa\,X_1/E\)	\(-\nu\kappa\,X_1X_2/E\)
\(u_{2}\)	\(-\nu\kappa\,X_2/E\)	\(-\kappa\left[X_3^2 +\nu\left(X_2^2 - X_1^2 \right)\right] /(2E)\)
\(u_{3}\)	\(\kappa\,X_3/E\)	\(\kappa\,X_2X_3/E\)