Paragrafo 1.10 esercizi
Sottoparagrafo 1.10.1
Si consideri la seguente trasformazione bidimensionale
- La trasformazione è lineare?
- Si calcolino le componenti del gradiente della trasformazione, il suo determinante e il suo inverso.
- Si studi la trasformazione di un quadrato di lato unitario definito dai seguenti punti\begin{equation*} A:\, (0,0)\,,\quad B:\, (1,0)\,,\quad C:\, (1,1)\,,\quad D:\, (0,1)\,. \end{equation*}
Sottoparagrafo 1.10.2
Si consideri la seguente trasformazione
- La trasformazione è lineare?
- Si calcolino le componenti del gradiente della trasformazione, il suo determinante e il suo inverso.
- Si studi la trasformazione di un cubo di lato unitario definito dai seguenti punti\begin{equation*} A:\, (0,0,0)\,,\quad B:\, (1,0,0)\,,\quad C:\, (1,1,0)\,,\quad D:\, (0,1,0)\,, \end{equation*}\begin{equation*} E:\, (0,0,1)\,,\quad F:\, (1,0,1)\,,\quad G:\, (1,1,1)\,,\quad H:\, (0,1,1)\,. \end{equation*}
- Si calcoli anche il campo di spostamento \(\vec{u}\text{.}\)
Sottoparagrafo 1.10.3
Si applichino al cubo unitario del problema precedente le seguenti trasformazioni
determinando per ciascuna:
- la nuova configurazione \(\body\) del cubo;
- le componenti del gradiente della trasformazione;
- l'ammissibilità della trasformazione.
Sottoparagrafo 1.10.4
Si consideri la seguente trasformazione
- Si calcoli il gradiente della trasformazione e il suo determinante.
- La trasformazione è ammissibile per qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo?
- Si calcoli anche il campo di spostamento \(\vec{u}\text{.}\)
Sottoparagrafo 1.10.5
Si consideri il seguente campo di spostamento
Calcolare il gradiente della trasformazione ed il suo inverso; si verifichi anche che la trasformazione è isocorica.
Sottoparagrafo 1.10.6
Sia assegnata la seguente trasformazione
con \(\alpha\text{,}\) \(\beta\) e \(\gamma\) costanti generiche.
- Calcolare i tensori \(\tens{C}\) e \(\tens{E}\text{.}\)
- Assumendo \(\beta=-\cos{\theta}\) e \(\gamma=-\sin{\theta}\) valutare per quale valore di \(\alpha\) la deformazione è nulla.
Sottoparagrafo 1.10.7
Si assuma per il gradiente della trasformazione relativamente ad un punto di un corpo il seguente valore
Calcolare il tensore \(\tens{C}\) e il tensore destro della deformazione \(\tens{U}\text{.}\)
Sottoparagrafo 1.10.8
Sia assegnata la seguente trasformazione
con \(p\text{,}\) \(q\) e \(r\) costanti generiche.
- Studiare la trasformazione di un cubo di lato unitario definito dai punti\begin{equation*} A:\, (0,0,0)\,,\quad B:\, (1,0,0)\,,\quad C:\, (1,1,0)\,,\quad D:\, (0,1,0)\,, \end{equation*}\begin{equation*} E:\, (0,0,1)\,,\quad F:\, (1,0,1)\,,\quad G:\, (1,1,1)\,,\quad H:\, (0,1,1)\,. \end{equation*}
- Calcolare i tensori \(\tens{C}\text{,}\) \(\tens{U}\) e \(\tens{E}\text{.}\)
- Gli allungamenti \(\lambda\) relativi agli assi di riferimento.
- L'allungamento \(\lambda\) lungo la direzione che va dal punto \((0,0,0)\) al punto \((1,1,1)\text{.}\) Suggerimento: equazione (1.8.4).
Sottoparagrafo 1.10.9
Sia assegnata la seguente trasformazione
dove \(\alpha\) è una costante generica.
- Studiare la trasformazione di un cubo di lato unitario definito dai punti\begin{equation*} A:\, (0,0,0)\,,\quad B:\, (1,0,0)\,,\quad C:\, (1,1,0)\,,\quad D:\, (0,1,0)\,, \end{equation*}\begin{equation*} E:\, (0,0,1)\,,\quad F:\, (1,0,1)\,,\quad G:\, (1,1,1)\,,\quad H:\, (0,1,1)\,. \end{equation*}
- Calcolare le componenti del tensore \(\tens{C}\text{.}\)
- Calcolare l'angolo di taglio \(\gamma\) relativo alle direzioni \((\vec{e}_1,\vec{e}_2)\) e per la coppia \((\vec{e}_1,\vec{e}_3)\text{.}\)
- Calcolare gli allungamenti \(\lambda_i\) (\(i=1 \dots 3\)) e le direzioni principali del tensore \(\tens{U}\text{.}\) Suggerimento: si ricorda che \(\tens{C} = \tens{U}^2\text{.}\)
Sottoparagrafo 1.10.10
Si consideri il seguente campo di spostamento
- Determinare il tensore della deformazione infinitesima \(\tens{\varepsilon}\text{.}\)
- Determinare le deformazioni principali \(\varepsilon_i\) (\(i=1 \dots 3\)) e le direzioni principali di \(\tens{\varepsilon}\text{.}\)
- Calcolare gli allungamenti \(\lambda_i\) (\(i=1 \dots 3\)) e le direzioni principali del tensore \(\tens{U}\text{.}\)
- Confrontare \(\varepsilon_i\) e \(\lambda_i\) sulla base dell'equazione (1.9.9).
- Confrontare le direzioni principali di \(\tens{\varepsilon}\) con le direzioni principali \(\tens{U}\text{.}\)
- Ripetere le valutazioni precedenti rispetto allo stesso campo di spostamento ma amplificato con un fattore pari a \(10^3\text{:}\) che considerazioni si possono trarre?