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Paragrafo 1.10 esercizi

Sottoparagrafo 1.10.1

Si consideri la seguente trasformazione bidimensionale

\begin{align*} x_1 \amp= 4 -2X_1-X_2\,,\\ x_2 \amp= 2 +3/2X_1-X_2/2\,. \end{align*}
  1. La trasformazione è lineare?
  2. Si calcolino le componenti del gradiente della trasformazione, il suo determinante e il suo inverso.
  3. Si studi la trasformazione di un quadrato di lato unitario definito dai seguenti punti
    \begin{equation*} A:\, (0,0)\,,\quad B:\, (1,0)\,,\quad C:\, (1,1)\,,\quad D:\, (0,1)\,. \end{equation*}

Sottoparagrafo 1.10.2

Si consideri la seguente trasformazione

\begin{align*} x_1 \amp= X_1\,,\\ x_2 \amp= X_3\,,\\ x_3 \amp= -X_2\,. \end{align*}
  1. La trasformazione è lineare?
  2. Si calcolino le componenti del gradiente della trasformazione, il suo determinante e il suo inverso.
  3. Si studi la trasformazione di un cubo di lato unitario definito dai seguenti punti
    \begin{equation*} A:\, (0,0,0)\,,\quad B:\, (1,0,0)\,,\quad C:\, (1,1,0)\,,\quad D:\, (0,1,0)\,, \end{equation*}
    \begin{equation*} E:\, (0,0,1)\,,\quad F:\, (1,0,1)\,,\quad G:\, (1,1,1)\,,\quad H:\, (0,1,1)\,. \end{equation*}
  4. Si calcoli anche il campo di spostamento \(\vec{u}\text{.}\)

Sottoparagrafo 1.10.3

Si applichino al cubo unitario del problema precedente le seguenti trasformazioni

\begin{align*} \text{(a)}\;\amp x_1 = 1+X_1\,,\; x_2 = X_2/2+5\,,\; x_3=2X_2\,,\\ \text{(b)}\;\amp x_1 = X_1\,,\; x_2 = 3\,,\; x_3=X_3\,,\\ \text{(c)}\;\amp x_1 = X_1\,,\; x_2 = X_2\,,\; x_3=4-X_3\,. \end{align*}

determinando per ciascuna:

  1. la nuova configurazione \(\body\) del cubo;
  2. le componenti del gradiente della trasformazione;
  3. l'ammissibilità della trasformazione.

Sottoparagrafo 1.10.4

Si consideri la seguente trasformazione

\begin{align*} x_1 \amp= X_1^2\,,\\ x_2 \amp= X_3^2\,,\\ x_3 \amp= X_2 X_3\,. \end{align*}
  1. Si calcoli il gradiente della trasformazione e il suo determinante.
  2. La trasformazione è ammissibile per qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo?
  3. Si calcoli anche il campo di spostamento \(\vec{u}\text{.}\)

Sottoparagrafo 1.10.5

Si consideri il seguente campo di spostamento

\begin{align*} u_1 \amp= x_1-x_2/4\,,\\ u_2 \amp= x_1+2x_2\,,\\ u_3 \amp= -3x_3\,. \end{align*}

Calcolare il gradiente della trasformazione ed il suo inverso; si verifichi anche che la trasformazione è isocorica.

Sottoparagrafo 1.10.6

Sia assegnata la seguente trasformazione

\begin{align*} x_1 \amp= \alpha X_1\,,\\ x_2 \amp= -\left(\beta X_2+\gamma X_3 \right)\,,\\ x_3 \amp= \gamma X_2 - \beta X_3 \,, \end{align*}

con \(\alpha\text{,}\) \(\beta\) e \(\gamma\) costanti generiche.

  1. Calcolare i tensori \(\tens{C}\) e \(\tens{E}\text{.}\)
  2. Assumendo \(\beta=-\cos{\theta}\) e \(\gamma=-\sin{\theta}\) valutare per quale valore di \(\alpha\) la deformazione è nulla.

Sottoparagrafo 1.10.7

Si assuma per il gradiente della trasformazione relativamente ad un punto di un corpo il seguente valore

\begin{equation*} \mat{F} = \left[\begin{array}{ccc} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 2 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \amp 2 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

Calcolare il tensore \(\tens{C}\) e il tensore destro della deformazione \(\tens{U}\text{.}\)

Sottoparagrafo 1.10.8

Sia assegnata la seguente trasformazione

\begin{align*} x_1 \amp= p X_1\,,\\ x_2 \amp= q X_2\,,\\ x_3 \amp= r X_3 \,, \end{align*}

con \(p\text{,}\) \(q\) e \(r\) costanti generiche.

  1. Studiare la trasformazione di un cubo di lato unitario definito dai punti
    \begin{equation*} A:\, (0,0,0)\,,\quad B:\, (1,0,0)\,,\quad C:\, (1,1,0)\,,\quad D:\, (0,1,0)\,, \end{equation*}
    \begin{equation*} E:\, (0,0,1)\,,\quad F:\, (1,0,1)\,,\quad G:\, (1,1,1)\,,\quad H:\, (0,1,1)\,. \end{equation*}
  2. Calcolare i tensori \(\tens{C}\text{,}\) \(\tens{U}\) e \(\tens{E}\text{.}\)
  3. Gli allungamenti \(\lambda\) relativi agli assi di riferimento.
  4. L'allungamento \(\lambda\) lungo la direzione che va dal punto \((0,0,0)\) al punto \((1,1,1)\text{.}\) Suggerimento: equazione (1.8.4).

Sottoparagrafo 1.10.9

Sia assegnata la seguente trasformazione

\begin{align*} x_1 \amp= X_1 + \alpha X_2\,,\\ x_2 \amp= X_2\,,\\ x_3 \amp= X_3 \,, \end{align*}

dove \(\alpha\) è una costante generica.

  1. Studiare la trasformazione di un cubo di lato unitario definito dai punti
    \begin{equation*} A:\, (0,0,0)\,,\quad B:\, (1,0,0)\,,\quad C:\, (1,1,0)\,,\quad D:\, (0,1,0)\,, \end{equation*}
    \begin{equation*} E:\, (0,0,1)\,,\quad F:\, (1,0,1)\,,\quad G:\, (1,1,1)\,,\quad H:\, (0,1,1)\,. \end{equation*}
  2. Calcolare le componenti del tensore \(\tens{C}\text{.}\)
  3. Calcolare l'angolo di taglio \(\gamma\) relativo alle direzioni \((\vec{e}_1,\vec{e}_2)\) e per la coppia \((\vec{e}_1,\vec{e}_3)\text{.}\)
  4. Calcolare gli allungamenti \(\lambda_i\) (\(i=1 \dots 3\)) e le direzioni principali del tensore \(\tens{U}\text{.}\) Suggerimento: si ricorda che \(\tens{C} = \tens{U}^2\text{.}\)

Sottoparagrafo 1.10.10

Si consideri il seguente campo di spostamento

\begin{align*} u_1 \amp= 3.5 \; 10^{-3} X_1 + 2.0 \; 10^{-3} X_2\,,\\ u_2 \amp= 1.0 \; 10^{-3} X_1 - 0.5 \; 10^{-3} X_2\,,\\ u_3 \amp= 0 \,. \end{align*}
  1. Determinare il tensore della deformazione infinitesima \(\tens{\varepsilon}\text{.}\)
  2. Determinare le deformazioni principali \(\varepsilon_i\) (\(i=1 \dots 3\)) e le direzioni principali di \(\tens{\varepsilon}\text{.}\)
  3. Calcolare gli allungamenti \(\lambda_i\) (\(i=1 \dots 3\)) e le direzioni principali del tensore \(\tens{U}\text{.}\)
  4. Confrontare \(\varepsilon_i\) e \(\lambda_i\) sulla base dell'equazione (1.9.9).
  5. Confrontare le direzioni principali di \(\tens{\varepsilon}\) con le direzioni principali \(\tens{U}\text{.}\)
  6. Ripetere le valutazioni precedenti rispetto allo stesso campo di spostamento ma amplificato con un fattore pari a \(10^3\text{:}\) che considerazioni si possono trarre?