Section 1.10 esercizi
Subsection 1.10.1
Subsection 1.10.2
Si consideri la seguente trasformazione bidimensionale
\begin{align*}
x_1 \amp= 4 -2X_1-X_2\,,\\
x_2 \amp= 2 +3/2X_1-X_2/2\,.
\end{align*}
-
La trasformazione è lineare?
-
Si calcolino le componenti del gradiente della trasformazione, il suo determinante e il suo inverso.
-
Si studi la trasformazione di un quadrato di lato unitario definito dai seguenti punti\begin{equation*} A:\, (0,0)\,,\quad B:\, (1,0)\,,\quad C:\, (1,1)\,,\quad D:\, (0,1)\,. \end{equation*}
Subsection 1.10.3
Si consideri la seguente trasformazione
\begin{align*}
x_1 \amp= X_1\,,\\
x_2 \amp= X_3\,,\\
x_3 \amp= -X_2\,.
\end{align*}
-
La trasformazione è lineare?
-
Si calcolino le componenti del gradiente della trasformazione, il suo determinante e il suo inverso.
-
Si studi la trasformazione di un cubo di lato unitario definito dai seguenti punti\begin{equation*} A:\, (0,0,0)\,,\quad B:\, (1,0,0)\,,\quad C:\, (1,1,0)\,,\quad D:\, (0,1,0)\,, \end{equation*}\begin{equation*} E:\, (0,0,1)\,,\quad F:\, (1,0,1)\,,\quad G:\, (1,1,1)\,,\quad H:\, (0,1,1)\,. \end{equation*}
-
Si calcoli anche il campo di spostamento \(\vec{u}\text{.}\)
Subsection 1.10.4
Si applichino al cubo unitario del problema precedente le seguenti trasformazioni
\begin{align*}
\text{(a)}\;\amp x_1 = 1+X_1\,,\; x_2 = X_2/2+5\,,\; x_3=2X_2\,,\\
\text{(b)}\;\amp x_1 = X_1\,,\; x_2 = 3\,,\; x_3=X_3\,,\\
\text{(c)}\;\amp x_1 = X_1\,,\; x_2 = X_2\,,\; x_3=4-X_3\,.
\end{align*}
determinando per ciascuna:
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la nuova configurazione \(\body\) del cubo;
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le componenti del gradiente della trasformazione;
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l’ammissibilità della trasformazione.
Subsection 1.10.5
Si consideri la seguente trasformazione
\begin{align*}
x_1 \amp= X_1^2\,,\\
x_2 \amp= X_3^2\,,\\
x_3 \amp= X_2 X_3\,.
\end{align*}
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Si calcoli il gradiente della trasformazione e il suo determinante.
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La trasformazione è ammissibile per qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo?
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Si calcoli anche il campo di spostamento \(\vec{u}\text{.}\)
Subsection 1.10.6
Si consideri il seguente campo di spostamento
\begin{align*}
u_1 \amp= x_1-x_2/4\,,\\
u_2 \amp= x_1+2x_2\,,\\
u_3 \amp= -3x_3\,.
\end{align*}
Calcolare il gradiente della trasformazione ed il suo inverso; si verifichi anche che la trasformazione è isocorica.
Subsection 1.10.7
Sia assegnata la seguente trasformazione
\begin{align*}
x_1 \amp= \alpha X_1\,,\\
x_2 \amp= -\left(\beta X_2+\gamma X_3 \right)\,,\\
x_3 \amp= \gamma X_2 - \beta X_3 \,,
\end{align*}
con \(\alpha\text{,}\) \(\beta\) e \(\gamma\) costanti generiche.
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Calcolare i tensori \(\tens{C}\) e \(\tens{E}\text{.}\)
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Assumendo \(\beta=-\cos{\theta}\) e \(\gamma=-\sin{\theta}\) valutare per quale valore di \(\alpha\) la deformazione è nulla.
Subsection 1.10.8
Si assuma per il gradiente della trasformazione relativamente ad un punto di un corpo il seguente valore
\begin{equation*}
\mat{F} =
\left[\begin{array}{ccc}
1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 2 \amp 1 \\
0 \amp 1 \amp 2
\end{array}\right]\,.
\end{equation*}
Calcolare il tensore \(\tens{C}\) e il tensore destro della deformazione \(\tens{U}\text{.}\)
Subsection 1.10.9
Sia assegnata la seguente trasformazione
\begin{align*}
x_1 \amp= p X_1\,,\\
x_2 \amp= q X_2\,,\\
x_3 \amp= r X_3 \,,
\end{align*}
con \(p\text{,}\) \(q\) e \(r\) costanti generiche.
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Studiare la trasformazione di un cubo di lato unitario definito dai punti\begin{equation*} A:\, (0,0,0)\,,\quad B:\, (1,0,0)\,,\quad C:\, (1,1,0)\,,\quad D:\, (0,1,0)\,, \end{equation*}\begin{equation*} E:\, (0,0,1)\,,\quad F:\, (1,0,1)\,,\quad G:\, (1,1,1)\,,\quad H:\, (0,1,1)\,. \end{equation*}
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Calcolare i tensori \(\tens{C}\text{,}\) \(\tens{U}\) e \(\tens{E}\text{.}\)
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Gli allungamenti \(\lambda\) relativi agli assi di riferimento.
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L’allungamento \(\lambda\) lungo la direzione che va dal punto \((0,0,0)\) al punto \((1,1,1)\text{.}\) Suggerimento: equazione (1.8.4).
Subsection 1.10.10
Sia assegnata la seguente trasformazione
\begin{align*}
x_1 \amp= X_1 + \alpha X_2\,,\\
x_2 \amp= X_2\,,\\
x_3 \amp= X_3 \,,
\end{align*}
dove \(\alpha\) è una costante generica.
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Studiare la trasformazione di un cubo di lato unitario definito dai punti\begin{equation*} A:\, (0,0,0)\,,\quad B:\, (1,0,0)\,,\quad C:\, (1,1,0)\,,\quad D:\, (0,1,0)\,, \end{equation*}\begin{equation*} E:\, (0,0,1)\,,\quad F:\, (1,0,1)\,,\quad G:\, (1,1,1)\,,\quad H:\, (0,1,1)\,. \end{equation*}
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Calcolare le componenti del tensore \(\tens{C}\text{.}\)
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Calcolare l’angolo di taglio \(\gamma\) relativo alle direzioni \((\vec{e}_1,\vec{e}_2)\) e per la coppia \((\vec{e}_1,\vec{e}_3)\text{.}\)
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Calcolare gli allungamenti \(\lambda_i\) (\(i=1 \dots 3\)) e le direzioni principali del tensore \(\tens{U}\text{.}\) Suggerimento: si ricorda che \(\tens{C} = \tens{U}^2\text{.}\)
Subsection 1.10.11
Si consideri il seguente campo di spostamento
\begin{align*}
u_1 \amp= 3.5 \; 10^{-3} X_1 + 2.0 \; 10^{-3} X_2\,,\\
u_2 \amp= 1.0 \; 10^{-3} X_1 - 0.5 \; 10^{-3} X_2\,,\\
u_3 \amp= 0 \,.
\end{align*}
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Determinare il tensore della deformazione infinitesima \(\tens{\varepsilon}\text{.}\)
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Determinare le deformazioni principali \(\varepsilon_i\) (\(i=1 \dots 3\)) e le direzioni principali di \(\tens{\varepsilon}\text{.}\)
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Calcolare gli allungamenti \(\lambda_i\) (\(i=1 \dots 3\)) e le direzioni principali del tensore \(\tens{U}\text{.}\)
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Confrontare le direzioni principali di \(\tens{\varepsilon}\) con le direzioni principali \(\tens{U}\text{.}\)
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Ripetere le valutazioni precedenti rispetto allo stesso campo di spostamento ma amplificato con un fattore pari a \(10^3\text{:}\) che considerazioni si possono trarre?
