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Paragrafo 5.3 vincoli

Un corpo o un sistema di corpi tipicamente è soggetto sia ai carichi applicati sia a delle assegnate condizioni di vincolo. Da un punto di vista statico i vincoli vengono trattati rappresentando l’azione esercitata dal vincolo in termini di forze o coppie denominate reazioni vincolari. Tale procedura, come vedremo, consente di ottenere il diagramma di corpo libero mediante il quale il corpo viene rappresentato sotto l'azione di due gruppi di enti statici: le azioni applicate e le reazioni vincolari.

Nel caso piano, in generale, un vincolo applicato può dar luogo a 3 componenti di reazione:

\begin{align*} H \amp\quad \text{componente orizzontale,}\\ V \amp\quad \text{componente verticale,}\\ \mathcal{M}\amp\quad \text{componente coppia.} \end{align*}

Dove \(H\) e \(V\) sono le componenti di una forza di reazione, \(\vec{R}\text{,}\) appartenente al piano di lavoro. La presenza, in un punto del corpo, di tutte e 3 le componenti o soltanto di alcune di queste dipende dal tipo di vincolo applicato.

Sottoparagrafo 5.3.1 assenza di vincolo

È il caso banale in cui in un punto non vi è alcun vincolo applicato, di conseguenza non sarà possibile l'insorgere di componenti di reazione differenti da zero:

\begin{equation} H=0 \,, \quad V=0 \,,\quad \mathcal{M} = 0\,.\tag{5.3.1} \end{equation}

Sottoparagrafo 5.3.2 vincoli semplici

Sotto-sottoparagrafo 5.3.2.1 carrello

Figura 5.3.1.

La presenza del carrello determina, dal punto di vista statico, soltanto una forza di reazione, \(\vec{R}\text{,}\) diretta secondo l'asse del carrello. Quindi delle tre componenti di reazione solo le prime due possono essere diverse da zero

\begin{equation} H \neq 0 \,, \quad V \neq 0 \,,\quad \mathcal{M} = 0\,.\tag{5.3.2} \end{equation}

Inoltre è nota la direzione della forza di reazione e quindi le due componenti \(H\) e \(V\) non sono fra loro indipendenti ma legate dalla relazione

\begin{equation} \frac{V}{H} = \tan{\alpha}\,.\tag{5.3.3} \end{equation}

Ovviamente nel caso cui il carrello abbia asse orizzontale solo \(H\) può essere diversa da zero:

\begin{equation} H \neq 0 \,, \quad V = 0 \,,\quad \mathcal{M} = 0\,.\tag{5.3.4} \end{equation}

Nel caso di asse verticale invece

\begin{equation} H = 0 \,, \quad V \neq 0 \,,\quad \mathcal{M} = 0\,.\tag{5.3.5} \end{equation}

Sotto-sottoparagrafo 5.3.2.2 doppio bipendolo

Figura 5.3.2.

Il doppio bipendolo vincola la rotazione di corpo rigido del corpo rendendo possibile, dal punto di vista statico, solo l'insorgere della componente coppia della reazione vincolare. Pertanto si avrà

\begin{equation} H = 0 \,, \quad V = 0 \,,\quad \mathcal{M} \neq 0\,.\tag{5.3.6} \end{equation}

Sottoparagrafo 5.3.3 vincoli doppi

Sotto-sottoparagrafo 5.3.3.1 cerniera

Figura 5.3.3.

La presenza della cerniera rende possibile, come nel caso del carrello, la presenza di una forza di reazione, \(\vec{R}\text{,}\) la cui direzione non è nota a priori. Pertanto avremo le due componenti di reazione, orizzontale e verticale, eventualmente non nulle e indipendenti

\begin{equation} H \neq 0 \,, \quad V \neq 0 \,,\quad \mathcal{M} = 0\,.\tag{5.3.7} \end{equation}

Sotto-sottoparagrafo 5.3.3.2 bipendolo

Figura 5.3.4.

Il bipendolo per le componenti orizzontale e verticale si comporta come il carrello. Il vincolo ulteriore sulla rotazione determina anche la presenza della componte coppia. Pertanto si avrà

\begin{equation} H \neq 0 \,, \quad V \neq 0 \,,\quad \mathcal{M} \neq 0\,,\tag{5.3.8} \end{equation}

dove

\begin{equation} \frac{V}{H} = \tan{\alpha}\,.\tag{5.3.9} \end{equation}

Anche per il bipendolo se l'asse è orizzontale solo \(H\) può essere diversa da zero:

\begin{equation} H \neq 0 \,, \quad V = 0 \,,\quad \mathcal{M} \neq 0\,.\tag{5.3.10} \end{equation}

e nel caso di asse verticale invece

\begin{equation} H = 0 \,, \quad V \neq 0 \,,\quad \mathcal{M} \neq 0\,.\tag{5.3.11} \end{equation}

Sottoparagrafo 5.3.4 vincoli tripli

Sotto-sottoparagrafo 5.3.4.1 incastro

Figura 5.3.5.

L'incastro determina l'insorgere di una reazione vicolare avente le 3 componenti tutte eventualmente non nulle e indipendenti

\begin{equation} H \neq 0 \,, \quad V \neq 0 \,,\quad \mathcal{M} \neq 0\,.\tag{5.3.12} \end{equation}

Sottoparagrafo 5.3.5 riepilogo

Le figure successive illustrano per il caso piano la rappresentazione grafica dei vincoli e l'eventuale presenza delle componenti di reazione \(H\text{,}\) \(V\) e \(\mathcal{M}\text{.}\)

Figura 5.3.6. Vincoli semplici.
Figura 5.3.7. Vincoli doppi.
Figura 5.3.8. Vincoli tripli.
Nota 5.3.9.
I vincoli "carrello" e "bipendolo" possono essere rappresentati mediante un'inclinazione differente da \(0\) e \(\pi/2\text{,}\) in tal caso la rotazione del simbolo ha anche un preciso significato meccanico in quanto la forza da essi esercitata è ruotata dello stesso angolo, dando luogo a componenti orizzontale e verticale eventualmente ambedue diverse da zero. Gli altri vincoli invece esercitano comunque le componenti di reazione indicate nelle figure indipendentemente da una eventuale rotazione applicata nella loro rappresentazione grafica.

Sottoparagrafo 5.3.6 vincoli interni

I vincoli interni prescrivono, a differenza dai vincoli esterni, condizioni cinematiche nei punti di contatto tra uno o più corpi. Pertanto, da un punto di vista statico, vengono trattati in termini di reazioni vincolari scambiate dai corpi interessati dalla condizione di vincolo. In figura viene illustrato uno dei casi più ricorrenti, ovvero il caso della cerniera interna.

Figura 5.3.10.