Solid Mechanics - il campo di spostamento

Paragrafo 1.4 il campo di spostamento

Un altra quantità molto utilizzata nella descrizione cinematica dei corpi è la differenza fra la posizione corrente la posizione di riferimento del generico punto

\begin{equation} \vec{u} = \vec{x} - \vec{X}\label{displ_eq}\tag{1.4.1} \end{equation}

nota come campo di spostamento. Il relativo gradiente, noto come gradiente dello spostamento e indicato con il simbolo \(\tens{\nabla u}\text{,}\) si ottiene in modo analogo a quanto già fatto per il gradiente della trasformazione. Ovvero dato il campo

\begin{align} u_1 \amp = \func{u_1}{X_1, X_2, X_3}\,,\tag{1.4.2}\\ u_2 \amp = \func{u_2}{X_1, X_2, X_3}\,,\tag{1.4.3}\\ u_3 \amp = \func{u_3}{X_1, X_2, X_3}\,.\tag{1.4.4} \end{align}

si ottiene

\begin{equation} \mat{\nabla u} = \left[\begin{array}{ccc} \regulardiff{u_1}{X_1} \amp \regulardiff{u_1}{X_2} \amp \regulardiff{u_1}{X_3}\\ \regulardiff{u_2}{X_1} \amp \regulardiff{u_2}{X_2} \amp \regulardiff{u_2}{X_3}\\ \regulardiff{u_3}{X_1} \amp \regulardiff{u_3}{X_2} \amp \regulardiff{u_3}{X_3} \end{array}\right]\,.\label{Dipl_Grad_X_eq}\tag{1.4.5} \end{equation}

Dalla equazione (1.4.1) si ricava facilmente la relazione fra gradiente dello spostamento e gradiente della trasformazione

\begin{equation} \tens{\nabla u} = \tens{F} - \tens{I}\,,\tag{1.4.6} \end{equation}

dove \(\tens{I}\) rappresenta il tensore identità

\begin{equation*} \mat{I} = \left[\begin{array}{ccc} 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

valutazione del campo di spostamento e del relativo gradiente.

In merito alla Trasformazione 1 già utilizzata negli esempi precedenti, il campo di spostamento ed il relativo gradiente possono essere valutati sulla base delle seguenti istruzioni MATLAB®. Si tenga presente che, per la linearità delle trasformazioni coinvolte, i gradienti vengono valutati come matrice associata alla trasformazione.

T1 = @(X) [-X(2); X(1)];
F = [T1([1; 0]) T1([0; 1])]
Grad_u = F - diag([1 1])

u1 = @(X) T1(X) - X;
Grad_u = [u1([1; 0]) u1([0; 1])]

Listato 1.4.1.

Istruzioni MATLAB® per la Trasformazione 2.

T2 = @(X) [2*X(1); X(2)];
F = [T2([1; 0]) T2([0; 1])]
Grad_u = F - diag([1 1])

u2 = @(X) T2(X) - X;
Grad_u = [u2([1; 0]) u2([0; 1])]

Listato 1.4.2.

Istruzioni MATLAB® per la Trasformazione 3.

T3 = @(X) [X(1); 1.5*X(2)];
F = [T3([1; 0]) T3([0; 1])]
Grad_u = F - diag([1 1])

u3 = @(X) T3(X) - X;
Grad_u = [u3([1; 0]) u3([0; 1])]

Listato 1.4.3.

Istruzioni MATLAB® per la Trasformazione 4.

T4 = @(X) [X(1)+X(2); X(2)];
F = [T4([1; 0]) T4([0; 1])]
Grad_u = F - diag([1 1])

u4 = @(X) T4(X) - X;
Grad_u = [u4([1; 0]) u4([0; 1])]

Listato 1.4.4.