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Paragrafo 1.8 misure di deformazione

Sottoparagrafo 1.8.1 tensore di deformazione di Cauchy-Green

Si consideri il seguente prodotto

\begin{equation*} \transp{\tens{F}}\,\tens{F}\,. \end{equation*}

Applicando la decomposizione polare destra si ottiene

\begin{equation*} \transp{\tens{F}}\,\tens{F} = \transp{\left(\tens{R}\tens{U}\right)}\, \tens{R}\tens{U} = \transp{\tens{U}}\transp{\tens{R}} \, \tens{R}\tens{U} = \tens{U}\,\tens{U} = \tens{U}^2\,, \end{equation*}

risultato che mostra come il prodotto \(\transp{\tens{F}}\,\tens{F}\) contenga solo il contributo deformativo legato ad \(\tens{U}\text{.}\) Tale prodotto

\begin{equation} \tens{C} = \transp{\tens{F}}\,\tens{F}\,,\label{strain_C_eq}\tag{1.8.1} \end{equation}

prende il nome di tensore destro di Cauchy-Green e , come \(\tens{U}\text{,}\) è simmetrico e definito positivo. Esso costituisce una misura importante della deformazione.

Osservazione 1.8.1.

Si potrebbe pensare che, noto \(\tens{U}^2\text{,}\) la semplice operazione \(\tens{U}=\sqrt{\tens{C}}\) consenta la valutazione di \(\tens{U}\text{.}\) L'operazione è possibile ma non è banale perché richiede la valutazione degli autovalori e degli autovettori di \(\tens{C}\text{.}\) Per tale ragione nelle misure di deformazione si utilizza direttamente il tensore \(\tens{C}\) o altre grandezze derivate.

Al fine di illustrare comunque la procedura sopra descritta si consideri il seguente gradiente della trasformazione

\begin{equation*} \mat{F}= \left[ \begin{array}{ccc} 4.4623 \amp -3.2249 \amp -0.4874 \\ 2.9623 \amp 1.7249 \amp -1.9874 \\ -1.7500 \amp -1.0607 \amp 5.2500 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

A partire da tale espressione le seguenti istruzioni MATLAB® consentono di valutare gli autovettori e gli autovalori di \(\tens{U}^2\text{.}\)

F = [4.4623   -3.2249   -0.4874;
2.9623    1.7249   -1.9874;
-1.7500   -1.0607    5.2500];
U2 = transpose(F)*F;
[u, D2] = eig(U2)
Listato 1.8.2.

Le seguenti istruzioni invece, valutando gli allungamenti principali come

\begin{equation*} \lambda_1 = \sqrt{D2(1,1)} = 2\,,\quad \lambda_2 = \sqrt{D2(2,2)} = 5\,,\quad \lambda_3 = \sqrt{D2(3,3)} = 7\,, \end{equation*}

e le direzioni principali estraendole dalle colonne della matrice degli autovettori restituita da MATLAB®, calcolano il tensore \(\tens{U}\) e quindi con la relazione

\begin{equation*} \tens{R} = \tens{F}\tens{U}^{-1}\,, \end{equation*}

anche la il tensore di rotazione associato alla decomposizione polare. Si valuta anche \(\tens{V}\) con la relazione

\begin{equation*} \tens{V} = \tens{F}\transp{\tens{R}}\,. \end{equation*} 

u1 = u(:,1);
u2 = u(:,2);
u3 = u(:,3);
lam1 = sqrt(D2(1,1));
lam2 = sqrt(D2(2,2));
lam3 = sqrt(D2(3,3));
U = lam1*u1*transpose(u1)+lam2*u2*transpose(u2)+lam3*u3*transpose(u3)
R = F*inv(U)
V = F*transpose(R)
Listato 1.8.3.

In maniera analoga si perviene al tensore sinistro di Cauchy-Green, ovvero

\begin{equation*} \tens{F}\,\transp{\tens{F}} = \tens{V}\tens{R} \, \transp{\left(\tens{V}\tens{R}\right)} = \tens{V}\tens{R} \, \transp{\tens{R}} \transp{\tens{V}} = \tens{V}\,\tens{V} = \tens{V}^2\,, \end{equation*}

da cui

\begin{equation} \tens{B} = \tens{F}\,\transp{\tens{F}}\,.\tag{1.8.2} \end{equation}
Osservazione 1.8.4.

Tra i due tensori di Cauchy-Green, \(\tens{C}\) è più utilizzato nella meccanica dei solidi perché agisce sulla posizione del punto espressa nella configurazione di riferimento.

Intuizione 1.8.5. interpretazione delle componenti del tensore \(\tens{C}\).

Applichiamo al gradiente della trasformazione \(\tens{F}\) quanto detto in Paragrafo 1.2 a proposito del significato delle matrici associate a trasformazioni lineari. Ovvero espriamo la matrice associata ad \(\tens{F}\) come segue

\begin{equation*} \mat{F}=\left[\begin{array}{ccc} \tens{F}\vec{e}_1 \amp \tens{F}\vec{e}_2 \amp \tens{F}\vec{e}_3 \end{array}\right]\,, \end{equation*}

dove nelle colonne di \(\mat{F}\) compaiono i trasformati dei vettori della base. Si valuti quindi la matrice associata al tensore \(\tens{C}\) sulla base della definizione (1.8.1)

\begin{equation*} \mat{C}=\transp{\mat{F}}\mat{F}= \left[\begin{array}{c} \transp{(\tens{F}\vec{e}_1)} \\ \transp{(\tens{F}\vec{e}_2)} \\ \transp{(\tens{F}\vec{e}_3)} \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} \tens{F}\vec{e}_1 \amp \tens{F}\vec{e}_2 \amp \tens{F}\vec{e}_3 \end{array}\right]\,, \end{equation*}

da cui si ottiene

\begin{equation*} \mat{C}=\left[\begin{array}{ccc} \transp{(\tens{F}\vec{e}_1)}\tens{F}\vec{e}_1 \amp \transp{(\tens{F}\vec{e}_1)}\tens{F}\vec{e}_2 \amp \transp{(\tens{F}\vec{e}_1)}\tens{F}\vec{e}_3 \\ \transp{(\tens{F}\vec{e}_2)}\tens{F}\vec{e}_1 \amp \transp{(\tens{F}\vec{e}_2)}\tens{F}\vec{e}_2 \amp \transp{(\tens{F}\vec{e}_2)}\tens{F}\vec{e}_3 \\ \transp{(\tens{F}\vec{e}_3)}\tens{F}\vec{e}_1 \amp \transp{(\tens{F}\vec{e}_3)}\tens{F}\vec{e}_2 \amp \transp{(\tens{F}\vec{e}_3)}\tens{F}\vec{e}_3 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

Tale risultato consente di stabilire quanto segue per i coefficienti di \(\mat{C}\text{.}\)

  • Per il generico coefficiente di \(\mat{C}\) collocato sulla diagonale principale, \(C_{ii}\text{,}\) si ha
    \begin{equation} C_{ii} = \transp{(\tens{F}\vec{e}_i)}\tens{F}\vec{e}_i = \tens{F}\vec{e}_i \cdot \tens{F}\vec{e}_i = \| \tens{F}\vec{e}_i\|^2\,.\label{Cii_pre_eq}\tag{1.8.3} \end{equation}
    Si può constatare quindi che la generica componente \(ii\) sulla diagonale principale rappresenta il quadrato della norma del vettore trasformato \(\tens{F}\vec{e}_i\text{.}\) Dal momento che il vettore \(\vec{e}_i\) è di lunghezza unitaria, la componente \(C_{ii}\) è quindi il quadrato dell'allungamento lungo la direzione \(\vec{e}_i\text{.}\) Quindi si può stabilire quanto segue
    \begin{equation} C_{ii} = \| \tens{F}\vec{e}_i\|^2 = \func{\lambda}{\vec{e}_i}^2\,,\label{Cii_eq}\tag{1.8.4} \end{equation}
    dove con \(\func{\lambda}{\vec{e}_i}\) si è indicato l'allungamento lungo la direzione \(\vec{e}_i\). Nel caso di forma diagonale del tensore \(\tens{C}\) tale allungamento coincide con il corrispondente allungamento principale o autovalore di \(\tens{U}\text{.}\)
  • Per le componenti fuori dalla diagonale principale si ottiene invece
    \begin{equation*} C_{ij} = \transp{(\tens{F}\vec{e}_i)}\tens{F}\vec{e}_j = \tens{F}\vec{e}_i \cdot \tens{F}\vec{e}_j = \cos{\func{\theta}{\tens{F}\vec{e}_i,\tens{F}\vec{e}_j}} \| \tens{F}\vec{e}_i\|\, \| \tens{F}\vec{e}_j\|\,, \end{equation*}
    dove \(\func{\theta}{\tens{F}\vec{e}_i,\tens{F}\vec{e}_j}\) rappresenta l'angolo formato dai vettori \(\tens{F}\vec{e}_i\) e \(\tens{F}\vec{e}_j\text{.}\) Tale relazione, utilizzando la (1.8.4), diventa
    \begin{equation*} C_{ij} = \cos{\func{\theta}{\tens{F}\vec{e}_i,\tens{F}\vec{e}_j}} \, \func{\lambda}{\vec{e}_i} \, \func{\lambda}{\vec{e}_j}\,, \end{equation*}
    risultato che mostra come la generica componente \(C_{ij}\) dipenda, oltre che dagli allungamenti lungo le direzioni \(\vec{e}_i\) ed \(\vec{e}_j\text{,}\) principalmente dall'angolo formato dai trasformati dei vettori. Tale dipendenza, introducendo l'angolo
    \begin{equation} \func{\gamma}{\vec{e}_i,\vec{e}_j} = \func{\Theta}{\vec{e}_i,\vec{e}_j} - \func{\theta}{\tens{F}\vec{e}_i,\tens{F}\vec{e}_j} = \frac{\pi}{2} - \func{\theta}{\tens{F}\vec{e}_i,\tens{F}\vec{e}_j}\,,\tag{1.8.5} \end{equation}
    ovvero l'angolo dato dalla differenza fra gli angoli formati da \(\vec{e}_i\) ed \(\vec{e}_j\) prima e dopo la trasformazione, può essere riformulata come segue
    \begin{align*} C_{ij} \amp = \cos{\left(\frac{\pi}{2} - \func{\gamma}{\vec{e}_i,\vec{e}_j}\right)} \, \func{\lambda}{\vec{e}_i} \, \func{\lambda}{\vec{e}_j}\,,\\ \amp = \sin{\func{\gamma}{\vec{e}_i,\vec{e}_j}} \, \func{\lambda}{\vec{e}_i} \, \func{\lambda}{\vec{e}_j}\,, \end{align*}
    da cui
    \begin{equation} C_{ij} = \sin{\func{\gamma}{\vec{e}_i,\vec{e}_j}}\, \func{\lambda}{\vec{e}_i} \, \func{\lambda}{\vec{e}_j}\,.\label{Cij_eq}\tag{1.8.6} \end{equation}
    La quantità \(\func{\gamma}{\vec{e}_i,\vec{e}_j}\) prende il nome di angolo di taglio o, più semplicemente, taglio. Nei casi in cui \(\func{\gamma}{\vec{e}_i,\vec{e}_j}\) è nullo, ovvero l'angolo formato dalle direzioni \(\vec{e}_i\) ed \(\vec{e}_j\) non varia, la componente fuori diagonale \(C_{ij}\) è nulla.

Sottoparagrafo 1.8.2 tensore della deformazione di Green-Lagrange

Una misura di deformazione molto utilizzata si basa sulla differenza dei quadrati delle lunghezze nella configurazione attuale ed in quella di riferimento. In particolare si ricava quanto segue

\begin{align*} \frac{1}{2}\left(\|d\vec{x}\|^2 - \|d\vec{X}\|^2\right) \amp = \frac{1}{2}\left(d\vec{x}\cdot d\vec{x} - d\vec{X}\cdot d\vec{X}\right)\,,\\ \amp = \frac{1}{2}\left( (\tens{F} d\vec{X})\cdot(\tens{F} d\vec{X}) - d\vec{X}\cdot d\vec{X}\right) \,,\\ \amp = \frac{1}{2}\left( d\vec{X}\cdot(\transp{\tens{F}}\,\tens{F} d\vec{X}) - d\vec{X}\cdot(\tens{I}\, d\vec{X})\right) \,,\\ \amp = d\vec{X}\cdot \frac{1}{2}\left( \transp{\tens{F}}\,\tens{F} - \tens{I}\right)d\vec{X}\,. \end{align*}

Si perviene alla definizione del seguente tensore

\begin{equation} \tens{E} = \frac{1}{2}\left( \transp{\tens{F}}\,\tens{F} - \tens{I}\right) = \frac{1}{2}\left(\tens{C} - \tens{I}\right)\tag{1.8.7} \end{equation}

noto come tensore della deformazione di Green-Lagrange (l'utilizzo del fattore \(\frac{1}{2}\) diverrà chiaro nel seguito). Il tensore \(\tens{E}\) è simmetrico ma non è definito positivo.

Osservazione 1.8.6.

Il tensore \(\tens{C} = \tens{U}^2\) è definito positivo in quanto correlato al quadrato del fattore di scala con il quale viene modificata la lunghezza del generico segmento \(d\vec{X}\text{.}\) Nel campo delle deformazioni ammissibili, tale fattore di scala, come per aree e volumi, non può annullarsi. Con il tensore di Green-Lagrange si introduce una misura dell'allungamento del segmento \(d\vec{X}\) rispetto alla sua dimensione iniziale, rendendo possibile quindi valori negativi della misura di Green-Lagrange quando il segmento si accorcia, ovvero valori nulli quando la lunghezza del segmento non cambia.

Sottoparagrafo 1.8.3 tensori della deformazione e gradiente del campo di spostamento

I modelli meccanici che verranno discussi durante il corso tipicamente vengono formulati utilizzando come ente cinematico il campo di spostamento che, si ricorda, è definito come \(\vec{u} = \vec{x}-\vec{X}\text{.}\) Da cui \(\tens{F} = \tens{I}+\tens{\nabla u}\text{.}\) Pertanto il tensore di Green-Lagrange è esprimibile come

\begin{align*} \tens{E} \amp = \frac{1}{2}\left( \transp{\tens{F}}\,\tens{F} - \tens{I}\right)\,,\\ \amp = \frac{1}{2}\left( \transp{(\tens{I}+\tens{\nabla u})}\,(\tens{I}+\tens{\nabla u}) - \tens{I}\right)\,,\\ \amp = \frac{1}{2}\left(\tens{I}+\tens{\nabla u} + \transp{\tens{\nabla u}} + \transp{\tens{\nabla u}}\,\tens{\nabla u} - \tens{I}\right)\,,\\ \amp = \frac{1}{2}\left(\tens{\nabla u} + \transp{\tens{\nabla u}}\right) + \frac{1}{2} \transp{\tens{\nabla u}}\,\tens{\nabla u} \,. \end{align*}

Pertanto, in termini di gradiente dello spostamento, il tensore della deformazione di Green-Lagrange ha la seguente espressione

\begin{equation} \tens{E} = \frac{1}{2}\left(\tens{\nabla u} + \transp{\tens{\nabla u}}\right) + \frac{1}{2} \transp{\tens{\nabla u}}\,\tens{\nabla u} \,.\tag{1.8.8} \end{equation}

Analogamente anche \(\tens{C}\) può essere espresso rispetto al gradiente dello spostamento, ovvero

\begin{equation*} \tens{C} = \transp{\tens{F}}\tens{F} = \transp{(\tens{I}+\tens{\nabla u})} (\tens{I}+\tens{\nabla u})\,, \end{equation*}

da cui si ottiene

\begin{equation} \tens{C} = \tens{I}+ \tens{\nabla u} + \transp{\tens{\nabla u}} + \transp{\tens{\nabla u}}\,\tens{\nabla u}\,.\tag{1.8.9} \end{equation}