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Paragrafo 4.1 descrizione cinematica di base

Come visto nella Paragrafo 1.3 la descrizione del moto di un corpo nell'intorno di un suo generico punto viene effettuata mediante il gradiente della trasformazione \(\tens{F}\text{.}\) A sua volta il gradiente, per il teorema di decomposzione polare (Paragrafo 1.6), ammette la decomposizione \(\tens{F}=\tens{R}\tens{U}\text{.}\) Assumendo l'ipotesi di corpo rigido, ovvero l'invarianza delle distanze reciproche dei punti che compongono il corpo, il corpo non si deforma e quindi

\begin{equation} \tens{U} = \tens{I}\quad \Rightarrow \quad \tens{F} = \tens{R}\,.\tag{4.1.1} \end{equation}

Inoltre, sempre per l'ipotesi di rigidità, la trasformazione \(\tens{F}\) non vale solo per un intorno del punto ma è omogena e quindi assume lo stesso valore su tutti i punti del corpo. Tale ulteriore condizione consente di esprimere il legame fra incrementi infinitesimi \(d\vec{x}=\tens{F}\,d\vec{X}\) in termini finiti, ovvero

\begin{equation} \vec{x} - \vec{x}_o = \tens{F}\left(\vec{X}-\vec{X}_o\right) = \tens{R}\left(\vec{X}-\vec{X}_o\right)\,,\label{rigid_x_eq}\tag{4.1.2} \end{equation}

dove \(\vec{X}\) si riferisce al generico punto e \(\vec{X}_o\) assume il significato particolare di polo rispetto al quale si descrive la trasformazione rigida. La scelta del polo è completamente indifferente e qualsiasi polo, interno o esterno al corpo, conduce ai medesimi risultati. Se si introduce nella (4.1.2) il legame \(\vec{x}=\vec{X}+\vec{u}\) si ottiene la descrisione del moto rigido in termini di spostamenti

\begin{equation} \vec{u} = \vec{u}_o + \left(\tens{R} - \tens{I}\right)\left(\vec{X}-\vec{X}_o\right)\,.\label{rigid_u_eq}\tag{4.1.3} \end{equation}

La relazione evidenzia come il campo di spostamento per un corpo rigido sia definito da due contributi ciascuno caratterizzato da 3 gradi di libertà:

  • un contributo di traslazione pura (3 componenti) condiviso da tutti i punti del corpo, contributo dato dallo spostamento del polo \(\vec{u}_o\text{;}\)
  • un contributo di rotazione (3 componenti) che invece varia per ogni punto in ragione del vettore \(\left(\vec{X} - \vec{X}_o\right)\text{.}\)

Sottoparagrafo 4.1.1 linearizzazione

Il generico tensore di rotazione ha una rappresentazione del tipo, si veda il Osservazione 1.6.3,

\begin{equation*} \mat{R} = \left[\begin{array}{cc} \cos{\varphi} \amp -\sin{\varphi} \\ \sin{\varphi} \amp \cos{\varphi} \end{array}\right]\,, \end{equation*}

espressione non lineare per la presenza delle funzioni trigonometriche. Ma si è anche visto che nel caso di spostamenti infinitesimi, si veda l'Intuizione 1.9.3, il tensore di rotazione assume la seguente espressione

\begin{equation*} \tens{R} \approx \tens{I} + \text{skew}\tens{\nabla u}\,, \end{equation*}

dove

\begin{equation*} \text{skew}\mat{\nabla u} \approx \left[\begin{array}{cc} 0 \amp -\varphi \\ \varphi \amp 0 \end{array}\right]\,. \end{equation*}

Pertanto, nel caso di spostamenti infinitesimi, la relazione (4.1.3) diventa

\begin{align*} \vec{u} \amp = \vec{u}_o + \left(\tens{R} - \tens{I}\right)\left(\vec{X}-\vec{X}_o\right)\\ \amp = \vec{u}_o + \left(\tens{I} + \text{skew}\tens{\nabla u} - \tens{I}\right)\left(\vec{X}-\vec{X}_o\right)\\ \amp = \vec{u}_o + \text{skew}\tens{\nabla u}\,\left(\vec{X}-\vec{X}_o\right)\,, \end{align*}

e quindi

\begin{equation} \vec{u} = \vec{u}_o + \text{skew}\tens{\nabla u}\,\left(\vec{X}-\vec{X}_o\right)\,.\label{small_rigid_u_eq}\tag{4.1.4} \end{equation}

La rappresentazione per componenti fornisce

\begin{equation} \left[\begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} {u_1}_o \\ {u_2}_o \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 \amp -\varphi \\ \varphi \amp 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \left(X_1 - {X_1}_o\right) \\ \left(X_2 - {X_2}_o\right) \end{array}\right]\,.\label{mat_small_rigid_u_eq}\tag{4.1.5} \end{equation}
Osservazione 4.1.1.

Nel formato tensoriale le formule precedenti sono del tutto generiche. Nello specificare le formule nel formato matriciale si è fatto riferimento al contesto bidimensionale che sarà utilizzato nelle applicazioni successive. Dalla formula (4.1.5) in particolare si evince che le due traslazioni del polo, \({u_1}_o\) e \({u_2}_o\text{,}\) e la rotazione \(\varphi\) costituiscono i 3 parametri necessari per descrivere il moto di un corpo rigido nel piano.

Anche se non necessario - le componenti di spostamento variano da punto a punto sul corpo, ma la rotazione di un corpo rigido non varia da punto a punto - nelle applicazioni successive si tenderà a denotare anche la rotazione del corpo con un simbolo del tipo \(\varphi_o\) indicando quindi a pedice il polo preso come riferimento.

Le seguenti istruzioni MATLAB® definiscono una funzione per il calcolo dello spostamento rigido nel piano di un punto assegnato, X, rispetto ad un polo generico, X0, ed ai parametri che definiscono la traslazione e la rotazione di un corpo, u0 e phi0. Il corpo in questione è mondimensionale, quindi di tipo trave, ed è individuato da 2 o più punti. Nell'esempio si considera una trave definita da 3 punti e se ne calcola lo spostamento assumendo come polo ciascuno di questi 3 punti. 

% campo di spostamento generico nel piano
rigidDispl = ...
    @(u0, phi0, X0, X)...
    [u0(1)-phi0*(X(2)-X0(2));...
     u0(2)+phi0*(X(1)-X0(1))];

% descrizione geometrica della trave 
syms l;
A = [0; 0];
B = [l; 0];
C = [l; l/2];

% campo di spostamento assumendo come polo il punto A
POLO = A;
syms phiA;
phi0 = phiA;
u0 = sym('uA', [2 1]);
uA = rigidDispl(u0, phi0, POLO, A);
uB = rigidDispl(u0, phi0, POLO, B);
uC = rigidDispl(u0, phi0, POLO, C);

% campo di spostamento assumendo come polo il punto B
POLO = B;
syms phiB;
phi0 = phiB;
u0 = sym('uB', [2 1]);
uA = rigidDispl(u0, phi0, POLO, A);
uB = rigidDispl(u0, phi0, POLO, B);
uC = rigidDispl(u0, phi0, POLO, C);

% campo di spostamento assumendo come polo il punto C
POLO = C;
syms phiC;
phi0 = phiC;
u0 = sym('uC', [2 1]);
uA = rigidDispl(u0, phi0, POLO, A);
uB = rigidDispl(u0, phi0, POLO, B);
uC = rigidDispl(u0, phi0, POLO, C);
Listato 4.1.2.

Osservazione 4.1.3.

Una scrittura alternativa dell'equazione (4.1.4) si ottiene esplicitando la struttura del tensore \(\text{skew}\tens{\nabla u}\text{,}\) ovvero

\begin{equation} \vec{u} = \vec{u}_o + \varphi \,\tens{W}\left(\vec{X}-\vec{X}_o\right)\,,\label{W_small_rigid_u_eq}\tag{4.1.6} \end{equation}

dove \(\varphi\) è l'angolo di rotazione e \(\tens{W}\) è un generico tensore emisimmetrico, si veda al riguardo l'Intuizione 1.9.5. Inoltre, utilizzando il vettore assiale associato al tensore \(\tens{W}\text{,}\) si può anche scrivere

\begin{equation} \vec{u} = \vec{u}_o + \varphi\, \vec{\omega}\times\left(\vec{X}-\vec{X}_o\right)\,.\label{omega_small_rigid_u_eq}\tag{4.1.7} \end{equation}