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Introduzione alla meccanica dei solidi

Antonio Bilotta

Section 1.2 trasformazioni

Figure 1.2.1.
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Si chiamerà moto la trasformazione
\begin{equation} \vec{x} = \func{\vec{\chi}}{\vec{X}}\,,\tag{1.2.1} \end{equation}
valida \(\forall\vec{X} \in \body_0\text{.}\) \(\vec{\chi}\) è una funzione vettoriale che, data una posizione \(\vec{X}\) relativa alla configurazione di riferimento, fornisce la nuova posizione \(\vec{x}\) relativa alla configurazione corrente. La dipendenza fra \(\vec{x}\) e \(\vec{X}\) a volte viene indicata rapidamente come segue
\begin{equation} \vec{x} = \func{\vec{x}}{\vec{X}}\,,\tag{1.2.2} \end{equation}
Si assume \(\vec{\chi}\) sufficientemente regolare da consentire la derivazione fino all’ordine desiderato.
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Si assume inoltre che il moto \(\vec{\chi}\) sia invertibile in maniera unica, ovvero è possibile scrivere
\begin{equation} \vec{X} = \func{\vec{\chi}^{-1}}{\vec{x}}\,,\tag{1.2.3} \end{equation}
ovvero
\begin{equation} \vec{X} = \func{\vec{X}}{\vec{x}}\,,\tag{1.2.4} \end{equation}
dove il simbolo \(\vec{\chi}^{-1}\) indica il moto inverso che associa alla posizione corrente \(\vec{x}\) la posizione \(\vec{X}\) nella configurazione di riferimento.
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In generale il moto \(\vec{\chi}\) di un corpo modificherà la posizione, l’orientazione e la forma del corpo. Si dirà quindi deformabile un corpo in grado di modificare la propria forma.
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alcune trasformazioni di base.

Trasformazione 1 (rotazione di 90 gradi in senso antiorario)
\begin{equation*} \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right] = \func{\vec{\chi}}{\left[\begin{array}{c}X_1\\X_2\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{c}-X_2\\X_1\end{array}\right] \end{equation*}
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Istruzioni per la definizione della funzione MATLAB® associata alla trasformazione assegnata e per il suo utilizzo.
Listing 1.2.2.
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$ T1 = @(X) [-X(2); X(1)];

X = [1; 2];
T1(X)
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Trasformazione 2 (estensione orizzontale)
\begin{equation*} \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right] = \func{\vec{\chi}}{\left[\begin{array}{c}X_1\\X_2\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{c}2\,X_1\\X_2\end{array}\right] \end{equation*}
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Istruzioni MATLAB®.
Listing 1.2.3.
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$ T2 = @(X) [2*X(1); X(2)];

X = [1; -1];
T2(X)
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Trasformazione 3 (estensione verticale)
\begin{equation*} \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right] = \func{\vec{\chi}}{\left[\begin{array}{c}X_1\\X_2\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{c}X_1\\1.5\,X_2\end{array}\right] \end{equation*}
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Istruzioni MATLAB®
Listing 1.2.4.
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$ T3 = @(X) [X(1); 1.5*X(2)];

v = [4; 10];
T3(v)
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Trasformazione 4 (taglio a destra)
\begin{equation*} \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right] = \func{\vec{\chi}}{\left[\begin{array}{c}X_1\\X_2\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{c}X_1+X_2\\X_2\end{array}\right] \end{equation*}
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Istruzioni MATLAB®
Listing 1.2.5.
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$ T4 = @(X) [X(1)+X(2); X(2)];

u = [10; -1];
T4(u)
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Gli esempi precedenti appartengono ad una categoria di trasformazioni molto importanti nella meccanica dei solidi: le trasformazioni lineari.
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Pertanto nel caso in cui la trasformazione \(\vec{\chi}\) è lineare la sua azione sul vettore \(\vec{X}\) è esplicabile attraverso la matrice \(\mat{M_{\chi}}\) definita come segue
\begin{equation} \mat{M_{\chi}} \equiv \left[\begin{array}{ccc} \func{\vec{\chi}}{\vec{e}_1} \amp \func{\vec{\chi}}{\vec{e}_2} \amp \func{\vec{\chi}}{\vec{e}_3} \end{array}\right]\,,\tag{1.2.5} \end{equation}
dove \(\func{\vec{\chi}}{\vec{e}_1}\text{,}\) \(\func{\vec{\chi}}{\vec{e}_2}\) e \(\func{\vec{\chi}}{\vec{e}_3}\) sono i vettori ottenuti applicando la trasformazione \(\vec{\chi}\) ai vettori della base di riferimento. Pertanto la trasformazione di qualsiasi vettore \(\vec{X}\) potrà essere ottenuta in modo equivalente applicando la matrice \(\mat{M_{\chi}}\text{:}\)
\begin{equation} \vec{x} = \func{\vec{\chi}}{\vec{X}} = \mat{M_{\chi}} \vec{X} \,.\tag{1.2.6} \end{equation}
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valutazione della matrice \(\mat{M_{\chi}}\).

Nel caso delle trasformazioni lineari già prese in considerazione negli esempi precedenti è facile verificare i seguenti risultati.
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Trasformazione 1
\begin{equation*} \mat{M_{\chi}} = \left[\begin{array}{cc} 0 \amp -1 \\ 1 \amp 0 \end{array}\right] \end{equation*}
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Trasformazione 2
\begin{equation*} \mat{M_{\chi}} = \left[\begin{array}{cc} 2 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \end{array}\right] \end{equation*}
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Trasformazione 3
\begin{equation*} \mat{M_{\chi}} = \left[\begin{array}{cc} 1 \amp 0 \\ 0 \amp 1.5 \end{array}\right] \end{equation*}
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Trasformazione 4
\begin{equation*} \mat{M_{\chi}} = \left[\begin{array}{cc} 1 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \end{array}\right] \end{equation*}
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Istruzioni MATLAB® per la costruzione delle matrici associate alle trasformazioni.
Listing 1.2.6.
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$ T1 = @(X) [-X(2); X(1)];
T2 = @(X) [2*X(1); X(2)];
T3 = @(X) [X(1); 1.5*X(2)];
T4 = @(X) [X(1)+X(2); X(2)];

M1 = [T1([1; 0]) T1([0; 1])]
M2 = [T2([1; 0]) T2([0; 1])]
M3 = [T3([1; 0]) T3([0; 1])]
M4 = [T4([1; 0]) T4([0; 1])]
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Remark 1.2.7.

È importante sottolineare ancora che è possibile identificare la matrice \(\mat{M_{\chi}}\) solo nel caso di trasformazione lineare. Inoltre, vale anche l’inverso, ovvero l’esistenza di una matrice \(\mat{M_{\chi}}\) utilizzabile per rappresentare una trasformazione implica la linearità della trasformazione.
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