Paragrafo 1.2 trasformazioni
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Si chiamerà moto la trasformazione
valida \(\forall\vec{X} \in \body_0\text{.}\) \(\vec{\chi}\) è una funzione vettoriale che, data una posizione \(\vec{X}\) relativa alla configurazione di riferimento, fornisce la nuova posizione \(\vec{x}\) relativa alla configurazione corrente. La dipendenza fra \(\vec{x}\) e \(\vec{X}\) a volte viene indicata rapidamente come segue
Si assume \(\vec{\chi}\) sufficientemente regolare da consentire la derivazione fino all'ordine desiderato.
Si assume inoltre che il moto \(\vec{\chi}\) sia invertibile in maniera unica, ovvero è possibile scrivere
ovvero
dove il simbolo \(\vec{\chi}^{-1}\) indica il moto inverso che associa alla posizione corrente \(\vec{x}\) la posizione \(\vec{X}\) nella configurazione di riferimento.
In generale il moto \(\vec{\chi}\) di un corpo modificherà la posizione, l'orientazione e la forma del corpo. Si dirà quindi deformabile un corpo in grado di modificare la propria forma.
alcune trasformazioni di base.
Trasformazione 1 (rotazione di 90 gradi in senso antiorario)
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Istruzioni per la definizione della funzione MATLAB® associata alla trasformazione assegnata e per il suo utilizzo. T1 = @(X) [-X(2); X(1)];
X = [1; 2];
T1(X)
Trasformazione 2 (estensione orizzontale)
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Istruzioni MATLAB®. T2 = @(X) [2*X(1); X(2)];
X = [1; -1];
T2(X)
Trasformazione 3 (estensione verticale)
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Istruzioni MATLAB® T3 = @(X) [X(1); 1.5*X(2)];
v = [4; 10];
T3(v)
Trasformazione 4 (taglio a destra)
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Istruzioni MATLAB® T4 = @(X) [X(1)+X(2); X(2)];
u = [10; -1];
T4(u)
Gli esempi precedenti appartengono ad una categoria di trasformazioni molto importanti nella meccanica dei solidi: le trasformazioni lineari.
Pertanto nel caso in cui la trasformazione \(\vec{\chi}\) è lineare la sua azione sul vettore \(\vec{X}\) è esplicabile attraverso la matrice \(\mat{M_{\chi}}\) definita come segue
dove \(\func{\vec{\chi}}{\vec{e}_1}\text{,}\) \(\func{\vec{\chi}}{\vec{e}_2}\) e \(\func{\vec{\chi}}{\vec{e}_3}\) sono i vettori ottenuti applicando la trasformazione \(\vec{\chi}\) ai vettori della base di riferimento. Pertanto la trasformazione di qualsiasi vettore \(\vec{X}\) potrà essere ottenuta in modo equivalente applicando la matrice \(\mat{M_{\chi}}\text{:}\)
valutazione della matrice \(\mat{M_{\chi}}\).
Nel caso delle trasformazioni lineari già prese in considerazione negli esempi precedenti è facile verificare i seguenti risultati.
Trasformazione 1
Trasformazione 2
Trasformazione 3
Trasformazione 4
Istruzioni MATLAB® per la costruzione delle matrici associate alle trasformazioni. T1 = @(X) [-X(2); X(1)];
T2 = @(X) [2*X(1); X(2)];
T3 = @(X) [X(1); 1.5*X(2)];
T4 = @(X) [X(1)+X(2); X(2)];
M1 = [T1([1; 0]) T1([0; 1])]
M2 = [T2([1; 0]) T2([0; 1])]
M3 = [T3([1; 0]) T3([0; 1])]
M4 = [T4([1; 0]) T4([0; 1])]
Osservazione 1.2.7.
È importante sottolineare ancora che è possibile identificare la matrice \(\mat{M_{\chi}}\) solo nel caso di trasformazione lineare. Inoltre, vale anche l'inverso, ovvero l'esistenza di una matrice \(\mat{M_{\chi}}\) utilizzabile per rappresentare una trasformazione implica la linearità della trasformazione.