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Paragrafo 5.8 equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana

Le equazioni indefinite di equilibrio per la trave sono già state trattate nella Paragrafo 3.5 e nella Paragrafo 3.6 nel contesto più ampio che ha portato alla costruzione di un modello completo di trave piana elastica. In questa sede le equazioni vengono ricavate per altra via e l'unica differenza consiste nell'esplicitazione della componente di sollecitazione data dal taglio.

Sottoparagrafo 5.8.1 formulazione del problema

Figura 5.8.1.

All'interno di una trave soggetta a condizioni di carico generiche, si supponga di isolare un tratto di trave di lunghezza infinitesima \(dx\text{.}\) Il tratto di trave così individuato è soggetto ad una serie di azioni illustrate nella figura successiva e che, per chiarezza, vengono di seguito elencate:

  • le componenti di sollecitazione, \(N(x)\text{,}\) \(T(x)\) e \(M(x)\text{,}\) relative all'ascissa \(x\text{;}\)
  • le componenti di sollecitazione, \(N(x+dx)\text{,}\) \(T(x+dx)\) e \(M(x+dx)\text{,}\) relative all'ascissa \(x+dx\text{;}\)
  • il carico assiale ripartito per unità di lunghezza \(p(x)\text{;}\)
  • il carico trasversale ripartito per unità di lunghezza \(q(x)\text{.}\)

Sottoparagrafo 5.8.2 condizioni di equilibrio

Lo schema ottenuto è essenzialmente un diagramma di corpo libero per il quale è possibile imporre le seguenti equazioni di equilibrio (il polo utilizzato per l'equilibrio alla rotazione è posto all'ascissa \(x+dx\))

\begin{align} -N(x) + N(x+dx) + p(x)dx \amp = 0\,,\tag{5.8.1}\\ -T(x) + T(x+dx) + q(x)dx \amp = 0\,,\tag{5.8.2}\\ -T(x)\,dx - M(x) + q(x)\frac{dx^2}{2} + M(x+dx) \amp = 0\,.\tag{5.8.3} \end{align}

L'ipotesi di continuità del solido mono-dimensionale e delle grandezze su di esso definite, consente di effettuare uno sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine delle sollecitazioni valutate sulla sezione \(x+dx\) e di ottenere quindi

\begin{align} -N(x) + \underbrace{N(x) + \regulardiff{N}{x}\,dx}_{N(x+dx)} + p(x)dx \amp = 0\,,\tag{5.8.4}\\ -T(x) + \underbrace{T(x) + \regulardiff{T}{x}\,dx}_{T(x+dx)} + q(x)dx \amp = 0\,,\tag{5.8.5}\\ -T(x)\,dx - M(x) + q(x)\frac{dx^2}{2} + \underbrace{M(x) + \regulardiff{M}{x}\,dx}_{M(x+dx)} \amp = 0\,.\tag{5.8.6} \end{align}

dove le quantità \(\regulardiff{N}{x}\text{,}\) \(\regulardiff{T}{x}\) e \(\regulardiff{M}{x}\) indicano le derivate delle sollecitazioni rispetto all'ascissa \(x\text{.}\) Facendo le dovute semplificazioni e trascurando il termine \(q(x)\frac{dx^2}{2}\) perché di ordine superiore al primo, si ottengono le equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana di seguito elencate.

  • Equilibrio in direzione assiale:
    \begin{equation} \regulardiff{N}{x} + p(x) = 0\,.\tag{5.8.7} \end{equation}
  • Equilibrio in direzione trasversale:
    \begin{equation} \regulardiff{T}{x} + q(x) = 0\,.\tag{5.8.8} \end{equation}
  • Equilibrio alla rotazione:
    \begin{equation} \regulardiff{M}{x} - T = 0\,.\tag{5.8.9} \end{equation}

Sottoparagrafo 5.8.3 integrali generali

L'integrazione delle equazioni indefinite di equilibrio fornisce i seguenti integrali generali validi su tratti di trave lungo i quali le sollecitazioni sono analitiche nella variabile \(x\text{:}\)

\begin{align} N(x) \amp = -\int p(x) dx + a \,,\label{general_N_eq}\tag{5.8.10}\\ T(x) \amp = -\int q(x) dx + b \,,\label{general_T_eq}\tag{5.8.11}\\ M(x) \amp = \int\left(-\int q(x) dx\right)dx + b\,x + c \,.\label{general_M_eq}\tag{5.8.12} \end{align}

Le costanti di integrazione \(a\text{,}\) \(b\) e \(c\) sono da valutare sulla base delle condizioni al contorno assegnate.

caso \(p(x)=0\) e \(q(x)=0\).

Al fine di illustrare la valutazione delle costanti di integrazione si consideri il seguente diagramma di corpo libero.

Figura 5.8.2.

Per l'assenza di carichi ripartiti gli integrali generali forniscono

\begin{align*} N(x) \amp = a \,,\\ T(x) \amp = b \,,\\ M(x) \amp = b\,x + c \,. \end{align*}

Quindi si ha un andamento costante per \(N\) e \(T\) e lineare per \(M\text{.}\) Imponendo le condizioni al contorno

\begin{equation*} N(0) = F\,,\quad T(0) = F\,, \quad M(0) = -Fl\,, \end{equation*}

si ottiene

\begin{equation*} a = F\,,\quad b = F\,, \quad c = -Fl\,. \end{equation*}

Quindi l'espressione analitica delle componenti di sollecitazione diventa

\begin{align*} N(x) \amp = F \,,\\ T(x) \amp = F \,,\\ M(x) \amp = F\,x - Fl \,. \end{align*}

Si sarebbe ottenuto lo stesso risultato utilizzando le condizioni al contorno

\begin{equation*} N(l) = F\,,\quad T(l) = F\,, \quad M(l) = 0\,. \end{equation*}

Sottoparagrafo 5.8.4 integrali generali per carichi ripartiti costanti

Figura 5.8.3.

Lo schema riporta il caso di una trave di cui sono noti i valori delle componenti di sollecitazione all'estremo \(x=0\) ed è soggetta a carichi ripartiti costanti. In tal caso gli integrali generali (5.8.10), (5.8.11) e (5.8.12) assumono le seguenti espressioni

\begin{align} N(x) \amp = -p\,x + N(0) \,,\label{general_const_N_eq}\tag{5.8.13}\\ T(x) \amp = -q\,x + T(0) \,,\label{general_const_T_eq}\tag{5.8.14}\\ M(x) \amp = -q \frac{x^2}{2} + T(0)\,x + M(0) \,.\label{general_const_M_eq}\tag{5.8.15} \end{align}

Espressioni che evidenziano un andamento lineare per sforzo normale e taglio e parabolico per il momento flettente.