equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana

Section 5.8 equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana

Le equazioni indefinite di equilibrio per la trave sono già state trattate nella Section 3.5 e nella Section 3.6 nel contesto più ampio che ha portato alla costruzione di un modello completo di trave piana elastica. In questa sede le equazioni vengono ricavate per altra via e l’unica differenza consiste nell’esplicitazione della componente di sollecitazione data dal taglio.

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Subsection 5.8.1 formulazione del problema

All’interno di una trave soggetta a condizioni di carico generiche, si supponga di isolare un tratto di trave di lunghezza infinitesima \(dx\text{.}\) Il tratto di trave così individuato è soggetto ad una serie di azioni illustrate nella figura successiva e che, per chiarezza, vengono di seguito elencate:

le componenti di sollecitazione, \(N(x)\text{,}\) \(T(x)\) e \(M(x)\text{,}\) relative all’ascissa \(x\text{;}\)

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le componenti di sollecitazione, \(N(x+dx)\text{,}\) \(T(x+dx)\) e \(M(x+dx)\text{,}\) relative all’ascissa \(x+dx\text{;}\)

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il carico assiale ripartito per unità di lunghezza \(p(x)\text{;}\)

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il carico trasversale ripartito per unità di lunghezza \(q(x)\text{.}\)

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Subsection 5.8.2 condizioni di equilibrio

Lo schema ottenuto è essenzialmente un diagramma di corpo libero per il quale è possibile imporre le seguenti equazioni di equilibrio (il polo utilizzato per l’equilibrio alla rotazione è posto all’ascissa \(x+dx\))

\begin{align} -N(x) + N(x+dx) + p(x)dx \amp = 0\,,\tag{5.8.1}\\ -T(x) + T(x+dx) + q(x)dx \amp = 0\,,\tag{5.8.2}\\ -T(x)\,dx - M(x) + q(x)\frac{dx^2}{2} + M(x+dx) \amp = 0\,.\tag{5.8.3} \end{align}

L’ipotesi di continuità del solido mono-dimensionale e delle grandezze su di esso definite, consente di effettuare uno sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine delle sollecitazioni valutate sulla sezione \(x+dx\) e di ottenere quindi

\begin{align} -N(x) + \underbrace{N(x) + \regulardiff{N}{x}\,dx}_{N(x+dx)} + p(x)dx \amp = 0\,,\tag{5.8.4}\\ -T(x) + \underbrace{T(x) + \regulardiff{T}{x}\,dx}_{T(x+dx)} + q(x)dx \amp = 0\,,\tag{5.8.5}\\ -T(x)\,dx - M(x) + q(x)\frac{dx^2}{2} + \underbrace{M(x) + \regulardiff{M}{x}\,dx}_{M(x+dx)} \amp = 0\,.\tag{5.8.6} \end{align}

dove le quantità \(\regulardiff{N}{x}\text{,}\) \(\regulardiff{T}{x}\) e \(\regulardiff{M}{x}\) indicano le derivate delle sollecitazioni rispetto all’ascissa \(x\text{.}\) Facendo le dovute semplificazioni e trascurando il termine \(q(x)\frac{dx^2}{2}\) perché di ordine superiore al primo, si ottengono le equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana di seguito elencate.

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Equilibrio in direzione assiale:
\begin{equation} \regulardiff{N}{x} + p(x) = 0\,.\tag{5.8.7} \end{equation}

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Equilibrio in direzione trasversale:
\begin{equation} \regulardiff{T}{x} + q(x) = 0\,.\tag{5.8.8} \end{equation}

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Equilibrio alla rotazione:
\begin{equation} \regulardiff{M}{x} - T = 0\,.\tag{5.8.9} \end{equation}

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Subsection 5.8.3 integrali generali

L’integrazione delle equazioni indefinite di equilibrio fornisce i seguenti integrali generali validi su tratti di trave lungo i quali le sollecitazioni sono analitiche nella variabile \(x\text{:}\)

\begin{align} N(x) \amp = -\int p(x) dx + a \,,\tag{5.8.10}\\ T(x) \amp = -\int q(x) dx + b \,,\tag{5.8.11}\\ M(x) \amp = \int\left(-\int q(x) dx\right)dx + b\,x + c \,.\tag{5.8.12} \end{align}

Le costanti di integrazione \(a\text{,}\) \(b\) e \(c\) sono da valutare sulla base delle condizioni al contorno assegnate.

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caso \(p(x)=0\) e \(q(x)=0\).

Al fine di illustrare la valutazione delle costanti di integrazione si consideri il seguente diagramma di corpo libero.

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Per l’assenza di carichi ripartiti gli integrali generali forniscono

\begin{align*} N(x) \amp = a \,,\\ T(x) \amp = b \,,\\ M(x) \amp = b\,x + c \,. \end{align*}

Quindi si ha un andamento costante per \(N\) e \(T\) e lineare per \(M\text{.}\) Imponendo le condizioni al contorno

\begin{equation*} N(0) = F\,,\quad T(0) = F\,, \quad M(0) = -Fl\,, \end{equation*}

si ottiene

\begin{equation*} a = F\,,\quad b = F\,, \quad c = -Fl\,. \end{equation*}

Quindi l’espressione analitica delle componenti di sollecitazione diventa

\begin{align*} N(x) \amp = F \,,\\ T(x) \amp = F \,,\\ M(x) \amp = F\,x - Fl \,. \end{align*}

Si sarebbe ottenuto lo stesso risultato utilizzando le condizioni al contorno

\begin{equation*} N(l) = F\,,\quad T(l) = F\,, \quad M(l) = 0\,. \end{equation*}

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Subsection 5.8.4 integrali generali per carichi ripartiti costanti

Lo schema riporta il caso di una trave di cui sono noti i valori delle componenti di sollecitazione all’estremo \(x=0\) ed è soggetta a carichi ripartiti costanti. In tal caso gli integrali generali (5.8.10), (5.8.11) e (5.8.12) assumono le seguenti espressioni

\begin{align} N(x) \amp = -p\,x + N(0) \,,\tag{5.8.13}\\ T(x) \amp = -q\,x + T(0) \,,\tag{5.8.14}\\ M(x) \amp = -q \frac{x^2}{2} + T(0)\,x + M(0) \,.\tag{5.8.15} \end{align}

Espressioni che evidenziano un andamento lineare per sforzo normale e taglio e parabolico per il momento flettente.

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