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Paragrafo 5.5 analisi statica

La procedura utilizzata per l'analisi statica dei sistemi di corpi è composta dalle seguenti operazioni.

  1. Individuazione del diagramma di corpo libero per il sistema di corpi da analizzare.
  2. Scrittura delle equazioni di equilibrio che saranno in numero pari a 3 volte il numero (\(N\)) di corpi che costituiscono il sistema (\(n=3\, N\)).
  3. Classificazione statica del sistema.
  4. Calcolo, se possibile, delle componenti di reazione vincolare che saranno in numero pari ai gradi di vincolo cinematico (\(m\)) applicati al sistema di corpi.

Sottoparagrafo 5.5.1 matrice statica

Nell'analisi statica la scrittura delle equazioni di equilibrio è il passaggio fondamentale che in termini generali può essere formalizzato nel modo seguente. Si consideri un sistema caratterizzato da \(n\) condizioni di equilibrio, soggetto ad un sistema di forze assegnato e ad \(m\) componenti di reazione vincolare. Le condizioni di equilibrio possono essere formulate mediante un sistema lineare del seguente tipo

\begin{equation} \sum_{j=1}^m B_{ij} r_j + f_i = 0 \qquad (i=1 \dots n).\tag{5.5.1} \end{equation}

Dove \(r_j\) è la generica componente di reazione vincolare (forza o coppia), \(f_i\) è la componente di forza o coppia che agisce sulla condizione di equilibrio \(i\)-esima e \(B_{ij}\) è il contributo fornito, per un valore unitario della reazione \(r_j\text{,}\) sulla condizione di equilibrio \(i\)-esimo. In termini matriciali il sistema può essere riscritto come segue:

\begin{equation} \mat{B} \vec{r} + \vec{f} = \vec0,\label{rb_balance_eq}\tag{5.5.2} \end{equation}

dove \(\mat{B}\text{,}\) di dimensioni \(n \times m\text{,}\) prende il nome di matrice statica del sistema, \(\vec{r}\text{,}\) di dimensione \(m \times 1\text{,}\) è il vettore che raccoglie le componenti di reazione vincolare (le incognite del sistema) e \(\vec{f}\text{,}\) di dimensione \(n \times 1\text{,}\) è il vettore delle azioni esterne assegnate.

Sottoparagrafo 5.5.2 classificazione statica

L'utilizzo tipico del sistema (5.5.2) è il calcolo delle reazioni vincolari \(\vec{r}\text{.}\) Ma anche in questo caso, come già fatto per la matrice cinematica, è istruttivo discutere la solvibilità del sistema per ricavarne considerazioni di tipo meccanico. Sia \(p=\text{min}(n, m)\text{,}\) allora possono verificarsi i seguenti casi.

  • \(\text{rango}\mat{B} == p\)
    • \(n==m\text{:}\) sistema isostatico, il sistema ammette una soluzione unica;
    • \(n<m\text{:}\) sistema iperstatico, il sistema ammette infinite soluzioni;
    • \(n>m\text{:}\) sistema ipostatico o impossibile, il sistema non ammette soluzioni.
  • \(\text{rango}\mat{B} < p\)
    • sistema degenere.