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Paragrafo 3.3 stati pluriassiali

Sottoparagrafo 3.3.1 il modello come generalizzazione della legge di Hooke

Gli stati uniassiali di trazione/compressione e di taglio hanno messo in evidenzia due differenti parametri sperimentali, il modulo di Young \(E\) ed il modulo a taglio \(G\text{,}\) utilizzabili come coefficienti di proporzionalità nella definizione del legame elastico esistente tra componente di tensione e relativa componente di deformazione. Per estendere tale approccio agli stati pluriassiali l'articolazione del legame deve prevedere situazioni più complesse nelle quali le componenti di tensione, in generale, non dipendono soltanto dalle corrispondenti componenti di deformazione. Pertanto vengono introdotti i seguenti coefficienti di proporzionalità

Figura 3.3.1.
tra la generica componente di tensione \(\sigma_{ij}\) e la generica componente di deformazione \(\varepsilon_{hk}\text{.}\) Quindi per ciascuna delle 9 componenti di tensione (\(i,\,j=1 \dots 3\)) occorrerà definire tanti coefficienti di proporzionalità quante sono le componenti di deformazione, che sono anch'esse 9 (\(h,\,k=1 \dots 3\)). Ciascun contributo dato dalla generica componentte di deformazione potrà essere sommato fornendo

\begin{align*} \sigma_{ij} \amp = \mathbb{C}_{ij11}\,\varepsilon_{11} + \mathbb{C}_{ij12}\,\varepsilon_{12} + \mathbb{C}_{ij13}\,\varepsilon_{13} \,+ \\ \amp + \mathbb{C}_{ij21}\,\varepsilon_{21} + \mathbb{C}_{ij22}\,\varepsilon_{22} + \mathbb{C}_{ij23}\,\varepsilon_{23} \,+ \\ \amp + \mathbb{C}_{ij31}\,\varepsilon_{31} + \mathbb{C}_{ij32}\,\varepsilon_{32} + \mathbb{C}_{ij33}\,\varepsilon_{33}\,. \end{align*}

Si hanno quindi 9 coefficienti di proporzionalità per ognuna delle 9 componenti di tensione per un totale di 81 coefficenti. Tale legame può essere espresso in forma compatta come come

\begin{equation} \sigma_{ij} = \sum_{h,k=1 \dots 3}\mathbb{C}_{ijhk}\varepsilon_{hk} \label{components_costitutivo_continuo_eq}\tag{3.3.1} \end{equation}

oppure in forma tensoriale scrivendo

\begin{equation} \tens{\sigma} = \tensQ{C}:\tens{\varepsilon} \label{costitutivo_continuo_eq}\tag{3.3.2} \end{equation}

relazione che mette in evidenza un nuovo tipo di trasformazione lineare che associa al generico tensore della deformazione il corrispondente tensore della tensione. In questo caso l'operatore lineare coinvolto è dato dal tensore del 4\(^o\) ordine \(\tensQ{C}\text{,}\) tensore che al suo interno contiene gli 81 coefficienti di cui sopra.

Si assume inoltre la possibilità di definire anche per gli stati pluriassiali l'energia elastica come segue

\begin{equation} \Phi = \frac{1}{2} \tens{\sigma}:\tens{\varepsilon}\,,\tag{3.3.3} \end{equation}

quantità che, come per il caso uniassiale, rappresenta la metà del lavoro interno, ovvero il lavoro effettuato dalla tensione sulla deformazione. L'energia elastica, sulla base del legame costitutivo (3.3.2), può essere riscritta come segue

\begin{equation} \Phi = \frac{1}{2} \left( \tensQ{C}:\tens{\varepsilon} \right):\tens{\varepsilon}\,.\label{energia_continuo_eq}\tag{3.3.4} \end{equation}

Sotto-sottoparagrafo 3.3.1.1 le proprietà del tensore costitutivo

  • La definizione dell'energia, equazione (3.3.4), e la condizione di non negatività del lavoro interno implicano che il tensore costitutivo deve esssere necessariamente definito positivo, ovvero
    \begin{equation*} \left(\tensQ{C}:\tens{\varepsilon}\right):\tens{\varepsilon} \geq 0 \end{equation*}
    e l'unico caso il cui è nullo si verifica quando \(\tens{\varepsilon}=\tens{0}\text{.}\)
  • Per definizione di potenziale elastico, la relazione fra generica componente di tensione \(\sigma_{ij}\) e l'energia elastica può essere scritta come
    \begin{equation} \sigma_{ij} = \frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon_{ij}}\,.\tag{3.3.5} \end{equation}
    Derivando ulteriormente tale relazione ed utilizzando la relazione (3.3.1) si ottiene
    \begin{equation*} \frac{\partial}{\partial \varepsilon_{hk}} \left(\frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon_{ij}}\right) = \frac{\partial}{\partial \varepsilon_{hk}} \left(\sigma_{ij}\right) = \frac{\partial}{\partial \varepsilon_{hk}} \left(\sum_{h,k=1 \dots 3}\mathbb{C}_{ijhk}\varepsilon_{hk} \right) = \mathbb{C}_{ijhk} \,. \end{equation*}
    Pertanto il generico coefficiente del tensore costitutivo è legato all'energia elastica dalla relazione
    \begin{equation} \mathbb{C}_{ijhk} = \frac{\partial}{\partial \varepsilon_{hk}} \left(\frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon_{ij}}\right)\,.\tag{3.3.6} \end{equation}
    Osservando che scambiando l'ordine di derivazione il risultato non cambia
    \begin{equation*} \mathbb{C}_{ijhk} = \frac{\partial}{\partial \varepsilon_{hk}} \left(\frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon_{ij}}\right) = \frac{\partial}{\partial \varepsilon_{ij}} \left(\frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon_{hk}}\right) = \frac{\partial}{\partial \varepsilon_{ij}} \left(\sigma_{hk} \right) = \mathbb{C}_{hkij}\,, \end{equation*}
    si ottiene il soddisfacimento della condizione
    \begin{equation} \mathbb{C}_{ijhk} = \mathbb{C}_{hkij}\tag{3.3.7} \end{equation}
    nota come simmetria maggiore del tensore costitutivo \(\tensQ{C}\text{.}\)
  • La simmetria delle componenti di tensione consente di scrivere
    \begin{equation} \mathbb{C}_{ijhk} = \mathbb{C}_{jihk}\,,\tag{3.3.8} \end{equation}
    mentre la condizione di simmetria delle componenti di deformazione fornisce
    \begin{equation} \mathbb{C}_{ijhk} = \mathbb{C}_{ijkh}\,.\tag{3.3.9} \end{equation}
    Tali condizioni vengono denominate simmetrie minori del tensore \(\tensQ{C}\text{.}\)
  • Le condizioni di simmetria sopra descritte riducono il numero di coefficienti effettivamente indipendenti e necessari per definire un generico tensore elastico da 81 a 21.

Sottoparagrafo 3.3.2 l'osservazione sperimentale

Il fenomeno principale messo in evidenza dall'osservazione sperimentale di stati di tensione/deformazione pluriassiali è che l'applicazione di un carico in una direzione assegnata determina non solo una deformazione lungo tale direzione ma anche lungo le direzioni trasversali ad essa. Tale fenomeno, come mostrato anche nell'animazione successiva, si osserva in particolare per gli stati di trazione o compressione e prende il nome di effetto Poisson.

Per i materiali più semplici l'effetto Poisson viene modellato attraverso l'introduzione di un unico parametro caratteristico del materiale, noto come coefficiente di Poisson, il quale lega la generica deformazione trasversale alla deformazione relativa alla direzione del carico applicato. Ad esempio, se si applica una tensione \(\sigma_{11}\) la deformazione lungo la direzione del carico assumerà un valore generico

\begin{equation*} \varepsilon_{11}\,, \end{equation*}

mentre le deformazioni nelle direzioni trasversali saranno

\begin{equation*} \varepsilon_{22} = -\nu\,\varepsilon_{11}\,,\qquad \varepsilon_{33} = -\nu\,\varepsilon_{11}\,, \end{equation*}

dove \(\nu\) è appunto il coefficiente di Poisson.

Sottoparagrafo 3.3.3 il caso isotropo

I parametri sperimentali del materiale finora incontrati sono il modulo di Young, \(E\text{,}\) il modulo a taglio, \(G\) ed il coefficiente di Poisson, \(\nu\text{.}\) Si è anche detto, si veda la sezione precedente, che il numero di coefficienti strettamente necessario per definire il tensore costitutivo è pari a 21. Sembra quindi che le risultanze spserimentale finora discusse siano di gran lunga insufficienti per raggiugere una completa definizione del legame elastico. Fortunatamente buona parte dei materiali utilizzati nelle usuali applicazioni ingegneristiche sono isotropi. Ovvero hanno la proprieta che, dato un blocco di materiale e qualsiasi direzioni di scelga per attraversarlo mediante delle prove sperimentale, si rileva sempre la stessa risposta meccanica. Per tale classe di materiali, applicabile a metalli, vetro, polimeri, terreni e, per certi versi, anche conglomerati cementizii o bituminosi, la caratterizzazione costitutiva è effettuabile mediante solo 2 parametri sperimentali.

Una coppia di parametri sperimentali utilizzabile, anche se non l'unica coppia, è data dalla coppia di parametri modulo di Young, \(E\) e coefficiente di Poisson, \(\nu\text{.}\) Il modulo a taglio \(G\) dipende infatti da \(E\) e \(\nu\) secondo la seguente formula

\begin{equation} G = \frac{E}{2\left(1+\nu\right)}\,.\tag{3.3.10} \end{equation}

Posto ciò conviene discutere il legame elastico ed isotropo tendendo separate le componenti di deformazione/tesione di tipo normale e dalle componenti di tipo tangenziale visto che, per i materiali isotropi, non vi è alcuno accoppiamento e quindi i coefficienti del tipo

\begin{equation*} \mathbb{C}_{iihk}\;\text{con}\; h \neq k \end{equation*}

sono comunque nulli.

Sotto-sottoparagrafo 3.3.3.1 componenti di tipo normale

Il legame elastico per le conponenti di tipo normale può essere formulato come segue

\begin{equation} \begin{array}{rcrcrcr} \varepsilon_{11} = \amp + \amp \frac{\displaystyle\sigma_{11}}{\displaystyle E} \amp-\amp \nu\,\frac{\displaystyle\sigma_{22}}{\displaystyle E} \amp-\amp \nu\,\frac{\displaystyle \sigma_{33}}{\displaystyle E}\,,\\ \varepsilon_{22} = \amp - \amp \nu\,\frac{\displaystyle \sigma_{11}}{\displaystyle E} \amp+\amp \frac{\displaystyle \sigma_{22}}{\displaystyle E} \amp-\amp \nu\,\frac{\displaystyle \sigma_{33}}{\displaystyle E}\,,\\ \varepsilon_{33} = \amp - \amp \nu\,\frac{\displaystyle \sigma_{11}}{\displaystyle E} \amp-\amp \nu\,\frac{\displaystyle \sigma_{22}}{\displaystyle E} \amp+\amp \frac{\displaystyle \sigma_{33}}{\displaystyle E}\,. \end{array}\label{isotropic_normal_eq}\tag{3.3.11} \end{equation}

Si osserva come tale risultato costituisca la forma inversa del legame elastico per la parte relativa alle componenti normali. Per ottenere i coefficienti elastici che legano le componenti di tensione alle componenti di deformazione, conviene visualizzare il legame nella seguente forma matriciale

\begin{equation*} \left[\begin{array}{c}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle E} \amp -\frac{\displaystyle \nu}{\displaystyle E} \amp -\frac{\displaystyle \nu}{\displaystyle E} \\ -\frac{\displaystyle \nu}{\displaystyle E} \amp \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle E} \amp -\frac{\displaystyle \nu}{\displaystyle E} \\ -\frac{\displaystyle \nu}{\displaystyle E} \amp -\frac{\displaystyle \nu}{\displaystyle E} \amp \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle E} \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33}\end{array}\right] \end{equation*}

ed utilizzare le seguenti istruzioni MATLAB® per invertire la matrice messa in evidenza. 

syms E ni;
M = [1/E -ni/E -ni/E; -ni/E 1/E  -ni/E; -ni/E -ni/E 1/E]
inv(M)
Listato 3.3.2.
Si ottiene quindi

\begin{equation} \left[\begin{array}{c}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33}\end{array}\right] = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \left[\begin{array}{ccc} (1-\nu) \amp \nu \amp \nu \\ \nu \amp (1-\nu) \amp \nu \\ \nu \amp \nu \amp (1-\nu) \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33}\end{array}\right]\,.\tag{3.3.12} \end{equation}

Risultato che consente di individuare i coefficienti costitutivi non nulli relativi alle componenti normali del tensore della tensione, ovvero

\begin{gather} \mathbb{C}_{1111} = \mathbb{C}_{2222} = \mathbb{C}_{3333} = \frac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}\,,\tag{3.3.13}\\ \mathbb{C}_{1122} = \mathbb{C}_{1133} = \mathbb{C}_{2233} = \frac{E\,\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\,,\tag{3.3.14}\\ \mathbb{C}_{2211} = \mathbb{C}_{1122}\,,\tag{3.3.15}\\ \mathbb{C}_{3311} = \mathbb{C}_{1133}\,,\tag{3.3.16}\\ \mathbb{C}_{3322} = \mathbb{C}_{2233}\,.\tag{3.3.17} \end{gather}

Sotto-sottoparagrafo 3.3.3.2 componenti di tipo tangenziale

Per le componenti di tipo tangenziale, oltre all'assenza di accoppiamento con le componenti di tipo normale, non è necessario modellare alcun accoppiamento reciproco, pertanto per tutte le componenti tangenziali vale legge uniassiale già vista nella Sottoparagrafo 3.2.2

\begin{equation} \begin{array}{rr} \gamma_{23} = 2\,\varepsilon_{23} = \amp \frac{\displaystyle \sigma_{23}}{\displaystyle G}\,,\\ \gamma_{31} = 2\,\varepsilon_{31} = \amp \frac{\displaystyle \sigma_{31}}{\displaystyle G}\,,\\ \gamma_{12} = 2\,\varepsilon_{12} = \amp \frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle G}\,. \end{array}\tag{3.3.18} \end{equation}
Da cui si ricava il seguente legame tra le componenti tangenziali di tensione e deformazione
\begin{equation} \sigma_{23} = 2\,G\,\varepsilon_{23}\,,\quad \sigma_{31} = 2\,G\,\varepsilon_{31}\,,\quad \sigma_{12} = 2\,G\,\varepsilon_{12}\,,\tag{3.3.19} \end{equation}
e quindi i seguenti coefficienti costitutivi non nulli
\begin{equation} \mathbb{C}_{2323} = \mathbb{C}_{3131} = \mathbb{C}_{1212} = 2\,G\,.\tag{3.3.20} \end{equation}

Sotto-sottoparagrafo 3.3.3.3 riepilogo e notazione di Voigt

Nella precedente discussione il legame elastico è stato presentato tenendo separata la descrizione della parte riguardante le componeti normali da quella relativa alle componenti tangenziali. Questo certamente per evidenziare meglio la mancanza di certi accoppiamenti tra componenti di tensione e componenti di deformazione, ma anche per l'impossibilità di rappresentare in maniera compatta le componenti di un tensore del 4\(^o\) ordine come il tensore costitutivo. Infatti mentre per i tensori del 2\(^o\) ordine la rappresentazione di tutte le componenti si realizza attraverso la matrice ad esso associata, per un tensore del 4\(^o\) ordine non esiste una rappresentazione simile, almeno “sulla carta”.

Un riepilogo di quanto ottenuto sopra può essere ottenuto utilizzando la notazione di Voigt la quale per la rappresentazione dei tensori simmetrici del 2\(^o\) ordine utilizza vettori a 6 componenti, e per i corrispondenti tensori 1  del 4\(^o\) ordine matrici 6\(\times\)6. Pertanto il legame elastico ed isotropo può essere scritto come segue

\begin{equation} \left[\begin{array}{c}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12}\end{array}\right] = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \left[\begin{array}{cccccc} (1-\nu) \amp \nu \amp \nu \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ \nu \amp (1-\nu) \amp \nu \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ \nu \amp \nu \amp (1-\nu) \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp (1-2\nu)/2 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp (1-2\nu)/2 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp (1-2\nu)/2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\,\varepsilon_{23} \\ 2\,\varepsilon_{31} \\ 2\,\varepsilon_{12}\end{array}\right]\,.\tag{3.3.21} \end{equation}
Corripondenti nel senso di tensori del 4\(^o\) ordine che mappano tensori simmetrici del 2\(^o\) in tensori simmetrici del 2\(^o\) ordine.

Per completezza si fornisce anche un riepilogo del legame elastico ed isotropo utilizzando il formato tensoriale.

\begin{equation} \tens{\sigma} = \tensQ{C}:\tens{\varepsilon} \tag{3.3.22} \end{equation}

dove le componenti non nulle del tensore \(\tensQ{C}\) sono

\begin{align} \amp\mathbb{C}_{1111} = \mathbb{C}_{2222} = \mathbb{C}_{3333} = \frac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}\,,\tag{3.3.23}\\ \amp\mathbb{C}_{1122} = \mathbb{C}_{1133} = \mathbb{C}_{2233} =\tag{3.3.24}\\ \amp\mathbb{C}_{2211} = \mathbb{C}_{3311} = \mathbb{C}_{3322} = \frac{E\,\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\,,\tag{3.3.25}\\ \amp\mathbb{C}_{2323} = \mathbb{C}_{3131} = \mathbb{C}_{1212} = 2\,G\,.\tag{3.3.26} \end{align}