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Paragrafo 5.2 il caso piano

Se si considera il caso in cui siano soltanto due le componenti non nulle delle forze applicate e delle posizioni dei punti dello spazio, l'equazione vettoriale (5.1.7) è esprimibile solo mediante due equazioni scalari e l'equazione vettoriale (5.1.8) si riduce ad una sola equazione scalare. Ovvero

\begin{gather} \sum_{i=1}^N F_{1i} = 0\,,\label{rb_plane_statics1_eq}\tag{5.2.1}\\ \sum_{i=1}^N F_{2i} = 0\,,\label{rb_plane_statics2_eq}\tag{5.2.2}\\ \sum_{i=1}^N \left( \left( X_{1i} - X_{1o}\right) F_{2i} - \left( X_{2i} - X_{2o}\right) F_{1i} \right) = 0\,.\label{rb_plane_statics3_eq}\tag{5.2.3} \end{gather}

La condizione (5.2.1) esprime l'annullamento della somma di tutte le forze orizzontali applicate, ovvero le componenti lungo l'asse 1 delle forze applicate. La condizione (5.2.2) impone l'annullamento della somma di tutte le forze verticali applicate, ovvero le componenti lungo l'asse 2 delle forze applicate. La condizione (5.2.3) esprime l'annullamento della somma dei momenti esercitati dalle forze orizzontali e verticali rispetto al punto scelto come polo. La seguente figura illustra per il caso di una singola forza il significato dei termini presenti nelle equazioni.

Figura 5.2.1.

Le seguenti istruzioni MATLAB® consentono di valutare le risultanti delle forze orizzontali, delle forze verticali e dei momenti a partire dai carichi applicati sui singoli punti di un corpo rigido. 

% vettore delle risultanti =
% [orizzontale; verticale; momento]
R = zeros(3,1);

% funzione per il calcolo del momento
momento = @(X0, X, Carico)...
    -Carico(1)*(X(2)-X0(2))+Carico(2)*(X(1)-X0(1));

% coordinate dei punti sui quali sono applicati i carichi
syms L;

A = [0; 0];
B = [L; 0];
C = [L; L/2];

% scelta del polo
POLO = A;

% per ogni punto si assegna il vettore Carico = [F1; F2; M]
% e si sommano i contributi alla risultante
syms F;

CaricoA = [F; F; 0];
R = R + CaricoA;
R(3) = R(3) + momento(POLO, A, CaricoA);
R

CaricoB = [-F; -F; 0];
R = R + CaricoB;
R(3) = R(3) + momento(POLO, B, CaricoB);
R

CaricoC = [-F; 2*F; F*L];
R = R + CaricoC;
R(3) = R(3) + momento(POLO, C, CaricoC);
R

if and(and(R(1) == 0, R(2) == 0), R(3) == 0)
    disp('Sistema equilibrato')
else
    disp('Sistema non equilibrato')
end
Listato 5.2.2.