Solid Mechanics - equazioni di equilibrio

Paragrafo 2.2 equazioni di equilibrio

Date le risultanti definite dalle espressioni (2.1.4) e (2.1.5), la condizione di equilibrio statico per un corpo continuo è espressa dalle seguenti equazioni

$\begin{align} \int_{\body} \vec{b} \, dv + \int_{\partial\body} \vec{t} \, ds \amp = \vec0\,,\label{body_equilibrium_1}\tag{2.2.1}\\ \int_{\body} \vec{x} \times \vec{b} \, dv + \int_{\partial\body} \vec{x} \times \vec{t} \, ds \amp = \vec0 \,.\label{body_equilibrium_2}\tag{2.2.2} \end{align}$

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Tali condizioni, per l'ipotesi di continuità, non valgono solo per il corpo

$\body$ in esame ma anche per qualsiasi sottoinsieme estratto dal corpo principale.

Tale operazione di separazione, tipica della meccanica dei solidi, viene effetuata utilizzando delle superfici immaginarie con cui viene tagliato il corpo di partenza. In particolare, si veda la figura, per le due parti di corpo così ottenute si potranno scrivere le seguenti coppie di equazioni

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$\begin{align} \int_{\omega} \vec{b} \, dv + \int_{\partial\omega} \vec{t}_{\omega} \, ds \amp = \vec0\,,\label{body_equilibrium_p1_1}\tag{2.2.3}\\ \int_{\omega} \vec{x} \times \vec{b} \, dv + \int_{\partial\omega} \vec{x} \times \vec{t}_{\omega} \, ds \amp = \vec0 \,.\label{body_equilibrium_p1_2}\tag{2.2.4} \end{align}$

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$\begin{align} \int_{\bar{\omega}} \vec{b} \, dv + \int_{\partial\bar{\omega}} \vec{t}_{\bar{\omega}} \, ds + \int_{\partial\body} \vec{t} \, ds \amp = \vec0\,,\label{body_equilibrium_p2_1}\tag{2.2.5}\\ \int_{\bar{\omega}} \vec{x} \times \vec{b} \, dv + \int_{\partial\bar{\omega}} \vec{x} \times \vec{t}_{\bar{\omega}} \, ds + \int_{\partial\body} \vec{x} \times \vec{t} \, ds \amp = \vec0 \,.\label{body_equilibrium_p2_2}\tag{2.2.6} \end{align}$

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dove

$\vec{t}_{\omega}$ rappresenta l'azione esercitata su

$\omega$ dall'altra parte di dominio

$\bar{\omega}$ e, al contrario,

$\vec{t}_{\bar{\omega}}$ rappresenta l'azione esercitata su

$\bar{\omega}$ dall'altra parte

$\omega\text{.}$