Vai all'indice generale

Paragrafo 4.2 vincoli

Il termine vincolo viene utilizzato per indicare un dispositivo che limita le possibilità di movimento di un sistema di corpi. Un generico sistema, ad esempio un sistema di corpi rigidi, viene descritto mediante \(n\) parametri, \(q_1, \dots q_n\text{,}\) che prendono il nome di coordinate lagrangiane del sistema. In questi termini, la generica condizione di vincolo viene espressa, nella forma più generica, nel modo seguente:

\begin{equation} f\left[q_1, \dots, q_n, \dot{q}_1, \dots, \dot{q}_n, t\right] \leq 0.\tag{4.2.1} \end{equation}

Dove compaiono, oltre alle coordinate lagrangiane, anche le loro derivate, \(\dot{q}_1, \dots, \dot{q}_n\text{,}\) rispetto al tempo.

Per gli sviluppi successivi è sufficiente considerare solo vincoli fissi (indipendenti dal tempo), bilateri (la condizione di vincolo si esprime mediante il segno di uguaglianza) e non monolateri (espressi mediante i segni di disegueglianza), olonomi (indipendenti dalle velocità) e non sclerolonomi (dipendenti dalle velocità) e privi di attrito (consentono completamente ciò che non vincolano), ovvero

\begin{equation} f\left[q_1, q_2, \dots, q_n\right] = 0.\label{constraint_eq}\tag{4.2.2} \end{equation}

La relazione appena scritta è in generale non lineare. Nel seguito si opererà nell'ambito di una cinematica del I\(^o\) ordine pertanto si opererà sempre con condizioni di vincolo di tipo lineare come di seguito descritto per i vincoli maggiormente utilizzati nelle applicazioni.

Sottoparagrafo 4.2.1 vincoli esterni semplici

Sotto-sottoparagrafo 4.2.1.1 carrello

Figura 4.2.1.

Il carrello impone che lo spostamento del punto in cui è applicato può avvenire solo in direzione ortogonale all'asse del carrello:

\begin{equation} \vec{u}_A \cdot \vec{n} = 0\label{carrello_eq}\tag{4.2.3} \end{equation}

dove

\begin{equation*} \vec{u}_A = \left[\begin{array}{c} u_{1A} \\ u_{2A}\end{array}\right] \,, \quad \vec{n} = \left[\begin{array}{c} \cos{\alpha} \\ \sin{\alpha}\end{array}\right] \end{equation*}

Nei casi particolari in cui l'asse del carrello è orizzontale, \(\alpha=0\) oppure \(\alpha=\pi\text{,}\) allora la condizione (4.2.3) fornisce

\begin{equation} u_{1A} = 0\,.\tag{4.2.4} \end{equation}

Se invece l'asse è verticale, \(\alpha=\pi/2\) oppure \(\alpha=-\pi/2\text{,}\) la condizione vincolare diviene

\begin{equation} u_{2A} = 0\,.\tag{4.2.5} \end{equation}

Sotto-sottoparagrafo 4.2.1.2 doppio bipendolo

Figura 4.2.2.

Il doppio bipendolo impone che la rotazione del punto di applicazione sia nulla, ovvero

\begin{equation} \varphi_{A} = 0\,.\tag{4.2.6} \end{equation}

Attenzione 4.2.3.

Nel caso di corpo rigido la rotazione non può variare da punto a punto e, pertanto, bloccare la rotazione in un punto vuol dire bloccarla su tutto il corpo. Detto in altro parole, per la cinematica di corpo rigido il punto di applicazione del vincolo non ha nessuna rilevanza.

Sottoparagrafo 4.2.2 vincoli esterni doppi

Sotto-sottoparagrafo 4.2.2.1 cerniera o appoggio

Figura 4.2.4.

La cerniera impone che nel punto di applicazione il vettore spostamento sia nullo

\begin{equation} \vec{u}_A = \vec0\,.\tag{4.2.7} \end{equation}

Sotto-sottoparagrafo 4.2.2.2 bipendolo

Figura 4.2.5.

Il bipendolo impone le condizioni

\begin{equation} \begin{split} \vec{u}_A \cdot \vec{n} &= 0 \,,\\ \varphi_{A} &= 0\,. \end{split}\tag{4.2.8} \end{equation}

Nel caso in cui l'asse del bipendolo sia orizzontale o verticale vale quanto già detto per il carrello.

Sottoparagrafo 4.2.3 vincoli esterni tripli

Sotto-sottoparagrafo 4.2.3.1 incastro

Figura 4.2.6.

Infine l'incastro impone

\begin{equation} \begin{split} \vec{u}_A &= \vec{0} \,,\\ \varphi_{A} &= 0\,. \end{split}\tag{4.2.9} \end{equation}

Sottoparagrafo 4.2.4 vincoli interni

L'articolazione di due o più corpi rigidi può essere effettuata mediante dei dispositivi detti vincoli interni. A scopo esemplificativo, evitando di passare in rassegna tutti i possibili casi, si discute solo uno dei casi più ricorrenti.

Sotto-sottoparagrafo 4.2.4.1 cerniera interna

Figura 4.2.7.

La presenza del vincolo interno è esprimibile mediante la condizione

\begin{equation} \vec{u}_{A} = \vec{u}_{A'}\,.\tag{4.2.10} \end{equation}