Paragrafo 2.6 esercizi
Sottoparagrafo 2.6.1
Siano \(\vec{t}_{\vec{n}}\) e \(\vec{t}_{\tilde{\vec{n}}}\) le trazioni relative a due giaciture distinte \(\vec{n}\) e \(\tilde{\vec{n}}\) passanti per \(\vec{x}\text{.}\) Si dimostri che
soltanto se il tensore associato al punto \(\vec{x}\) è simmetrico.
Sottoparagrafo 2.6.2
Dato il seguente stato di tensione
si calcoli quanto segue:
- le componenti del vettore di trazione \(\vec{t}_{\vec{n}}\) relativo un piano passante per il punto dato e parallelo al piano \(2x_1 + 3x_2+x_3 = 5\text{;}\)
- la lunghezza di \(\vec{t}_{\vec{n}}\) e l'angolo che forma con la normale al piano;
- le componenti del tensore di tensione \(\tilde{\vec{\sigma}}\) rispetto ad una nuova base ortonormale \(\{\tilde{\vec{e}}_a\}\text{,}\) \(a=1,2,3\text{,}\) ottenuta ruotando di \(\pi/2\) la base di partenza intorno all'asse \(\vec{e}_3\text{.}\)
Sottoparagrafo 2.6.3
Si consideri lo stato tensionale definito come segue
Si calcolino le componenti del vettore di trazione nel punto di coordinate \((1/2, \sqrt{3}/2, -1)\) sulla superficie di equazione \(x_1^2 +x_2^2 + x_3=0\text{.}\) Suggerimento: la normale ad una superficie si ottiene calcolandone il gradiente.
Sottoparagrafo 2.6.4
Si consideri il tensore
e si calcolino le tensioni principali e le direzioni principali.
Sottoparagrafo 2.6.5
Per un generico punto \(\vec{x}\) di un corpo le componenti del tensore valgono
Per lo stesso punto si considerino le due giaciture
- Calcolare le trazioni \(\vec{t}_{\vec{n}}\) e \(\vec{t}_{\bar{\vec{n}}}\) e le relative componenti normali e tangenziali.
- Calcolare tensioni principali e direzioni principali verificando che \(\vec{n}\) è una delle direzioni principali.
Sottoparagrafo 2.6.6
Si consideri un parallelepipedo delimitato dai piani \(x_1=\pm a\text{,}\) \(x_2=\pm b\) e \(x_3=\pm c\text{,}\) e lo stato tensionale così definito
con \(\alpha\) e \(\beta\) costanti generiche. Si determinino:
- le tensioni principali e le direzioni principali nel punto di coordinate \((a/2, -b/2, 0)\text{;}\)
- il vettore di trazione relativo alle tre facce che individuano lo spigolo di coordinate \((a, b, c)\text{.}\)
Sottoparagrafo 2.6.7
Si consideri il corpo \(\mathcal{B} = \{\vec{x} \,:\; 0 \leq x_i \leq 1\}\text{,}\) soggetto ai carichi di volume \(\vec{b} = \alpha x_3 \vec{e}_3\) ed alle forze di superficie su \(\partial\mathcal{B}\) definite come
Si calcoli il valore di \(\alpha\) tale da annullare la somma delle risultanti delle forze di volume e di superficie.
Sottoparagrafo 2.6.8
Si consideri il corpo \(\mathcal{B} = \{\vec{x} \,:\; 0 \leq x_i \leq 1\}\text{,}\) soggetto alla forza di volume \(\vec{b} = \transp{[0, 0, -\rho g]}\text{,}\) essendo \(\rho\) la densità di massa e \(g\) l'accelerazione di gravità. Si assuma inoltre il seguente campo per il tensore della tensione:
Si richiede quanto segue
- verificare il soddisfacimento delle equazioni locali di equilibrio;
- calcolare il vettore di trazione su le sei facce che definiscono \(\mathcal{B}\text{;}\)
- verificare l'equilibrio globale del corpo calcolando la risultante delle forze agenti su \(\mathcal{B}\text{.}\)