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Paragrafo 2.6 esercizi

Sottoparagrafo 2.6.1

Siano \(\vec{t}_{\vec{n}}\) e \(\vec{t}_{\tilde{\vec{n}}}\) le trazioni relative a due giaciture distinte \(\vec{n}\) e \(\tilde{\vec{n}}\) passanti per \(\vec{x}\text{.}\) Si dimostri che

\begin{equation*} \vec{n} \cdot \vec{t}_{\tilde{\vec{n}}} = \tilde{\vec{n}} \cdot \vec{t}_{\vec{n}} \end{equation*}

soltanto se il tensore associato al punto \(\vec{x}\) è simmetrico.

Sottoparagrafo 2.6.2

Dato il seguente stato di tensione

\begin{equation*} \mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc} 1 \amp 4 \amp -2 \\ 4 \amp 0 \amp 0 \\ -2 \amp 0 \amp 3 \end{array} \right]\,, \end{equation*}

si calcoli quanto segue:

  1. le componenti del vettore di trazione \(\vec{t}_{\vec{n}}\) relativo un piano passante per il punto dato e parallelo al piano \(2x_1 + 3x_2+x_3 = 5\text{;}\)
  2. la lunghezza di \(\vec{t}_{\vec{n}}\) e l'angolo che forma con la normale al piano;
  3. le componenti del tensore di tensione \(\tilde{\vec{\sigma}}\) rispetto ad una nuova base ortonormale \(\{\tilde{\vec{e}}_a\}\text{,}\) \(a=1,2,3\text{,}\) ottenuta ruotando di \(\pi/2\) la base di partenza intorno all'asse \(\vec{e}_3\text{.}\)

Sottoparagrafo 2.6.3

Si consideri lo stato tensionale definito come segue

\begin{equation*} \mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc} 5x_2x_3 \amp 3x_2^2 \amp 0 \\ 3x_2^2 \amp 0 \amp -x_1 \\ 0 \amp -x_1 \amp 0 \end{array} \right]\,. \end{equation*}

Si calcolino le componenti del vettore di trazione nel punto di coordinate \((1/2, \sqrt{3}/2, -1)\) sulla superficie di equazione \(x_1^2 +x_2^2 + x_3=0\text{.}\) Suggerimento: la normale ad una superficie si ottiene calcolandone il gradiente.

Sottoparagrafo 2.6.4

Si consideri il tensore

\begin{equation*} \mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc} 7 \amp 0 \amp 14 \\ 0 \amp 8 \amp 0 \\ 14 \amp 0 \amp -4 \end{array} \right] \end{equation*}

e si calcolino le tensioni principali e le direzioni principali.

Sottoparagrafo 2.6.5

Per un generico punto \(\vec{x}\) di un corpo le componenti del tensore valgono

\begin{equation*} \mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc} 5 \amp 3 \amp -3 \\ 3 \amp 0 \amp 2 \\ -3 \amp 2 \amp 0 \end{array} \right]\,. \end{equation*}

Per lo stesso punto si considerino le due giaciture

\begin{equation*} \vec{n} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2} \end{array}\right]\,, \quad \bar{\vec{n}} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\,. \end{equation*}
  1. Calcolare le trazioni \(\vec{t}_{\vec{n}}\) e \(\vec{t}_{\bar{\vec{n}}}\) e le relative componenti normali e tangenziali.
  2. Calcolare tensioni principali e direzioni principali verificando che \(\vec{n}\) è una delle direzioni principali.

Sottoparagrafo 2.6.6

Si consideri un parallelepipedo delimitato dai piani \(x_1=\pm a\text{,}\) \(x_2=\pm b\) e \(x_3=\pm c\text{,}\) e lo stato tensionale così definito

\begin{equation*} \mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc} \alpha\left(x_1-x_2\right) \amp \beta x_1^2 x_2 \amp 0 \\ \beta x_1^2 x_2 \amp -\alpha\left(x_1-x_2\right) \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{array}\right]\,, \end{equation*}

con \(\alpha\) e \(\beta\) costanti generiche. Si determinino:

  1. le tensioni principali e le direzioni principali nel punto di coordinate \((a/2, -b/2, 0)\text{;}\)
  2. il vettore di trazione relativo alle tre facce che individuano lo spigolo di coordinate \((a, b, c)\text{.}\)

Sottoparagrafo 2.6.7

Si consideri il corpo \(\mathcal{B} = \{\vec{x} \,:\; 0 \leq x_i \leq 1\}\text{,}\) soggetto ai carichi di volume \(\vec{b} = \alpha x_3 \vec{e}_3\) ed alle forze di superficie su \(\partial\mathcal{B}\) definite come

\begin{equation*} \vec{t} = \left\{\begin{array}{ccl} x_1 x_2 (1-x_1)(1-x_2)\vec{e}_3, \amp\amp \text{sulla faccia}\; x_3 = 0,\\ \vec{0} \amp\amp \text{su tutte le altre facce}. \end{array}\right.\,. \end{equation*}

Si calcoli il valore di \(\alpha\) tale da annullare la somma delle risultanti delle forze di volume e di superficie.

Sottoparagrafo 2.6.8

Si consideri il corpo \(\mathcal{B} = \{\vec{x} \,:\; 0 \leq x_i \leq 1\}\text{,}\) soggetto alla forza di volume \(\vec{b} = \transp{[0, 0, -\rho g]}\text{,}\) essendo \(\rho\) la densità di massa e \(g\) l'accelerazione di gravità. Si assuma inoltre il seguente campo per il tensore della tensione:

\begin{equation*} \mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc} x_2 \amp x_3 \amp 0 \\ x_3 \amp x_1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp \rho g x_3 \end{array} \right]\,. \end{equation*}

Si richiede quanto segue

  1. verificare il soddisfacimento delle equazioni locali di equilibrio;
  2. calcolare il vettore di trazione su le sei facce che definiscono \(\mathcal{B}\text{;}\)
  3. verificare l'equilibrio globale del corpo calcolando la risultante delle forze agenti su \(\mathcal{B}\text{.}\)