Section 2.6 esercizi
Subsection 2.6.1
Subsection 2.6.2
Siano \(\vec{t}_{\vec{n}}\) e \(\vec{t}_{\tilde{\vec{n}}}\) le trazioni relative a due giaciture distinte \(\vec{n}\) e \(\tilde{\vec{n}}\) passanti per \(\vec{x}\text{.}\) Si dimostri che
\begin{equation*}
\vec{n} \cdot \vec{t}_{\tilde{\vec{n}}} = \tilde{\vec{n}} \cdot \vec{t}_{\vec{n}}
\end{equation*}
soltanto se il tensore associato al punto \(\vec{x}\) è simmetrico.
Subsection 2.6.3
Dato il seguente stato di tensione
\begin{equation*}
\mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc}
1 \amp 4 \amp -2 \\
4 \amp 0 \amp 0 \\
-2 \amp 0 \amp 3
\end{array}
\right]\,,
\end{equation*}
si calcoli quanto segue:
-
le componenti del vettore di trazione \(\vec{t}_{\vec{n}}\) relativo un piano passante per il punto dato e parallelo al piano \(2x_1 + 3x_2+x_3 = 5\text{;}\)
-
la lunghezza di \(\vec{t}_{\vec{n}}\) e l’angolo che forma con la normale al piano;
-
le componenti del tensore di tensione \(\tilde{\vec{\sigma}}\) rispetto ad una nuova base ortonormale \(\{\tilde{\vec{e}}_a\}\text{,}\) \(a=1,2,3\text{,}\) ottenuta ruotando di \(\pi/2\) la base di partenza intorno all’asse \(\vec{e}_3\text{.}\)
Subsection 2.6.4
Si consideri lo stato tensionale definito come segue
\begin{equation*}
\mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc}
5x_2x_3 \amp 3x_2^2 \amp 0 \\
3x_2^2 \amp 0 \amp -x_1 \\
0 \amp -x_1 \amp 0
\end{array}
\right]\,.
\end{equation*}
Si calcolino le componenti del vettore di trazione nel punto di coordinate \((1/2, \sqrt{3}/2, -1)\) sulla superficie di equazione \(x_1^2 +x_2^2 + x_3=0\text{.}\) Suggerimento: la normale ad una superficie si ottiene calcolandone il gradiente.
Subsection 2.6.5
Si consideri il tensore
\begin{equation*}
\mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc}
7 \amp 0 \amp 14 \\
0 \amp 8 \amp 0 \\
14 \amp 0 \amp -4
\end{array}
\right]
\end{equation*}
e si calcolino le tensioni principali e le direzioni principali.
Subsection 2.6.6
Per un generico punto \(\vec{x}\) di un corpo le componenti del tensore valgono
\begin{equation*}
\mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc}
5 \amp 3 \amp -3 \\
3 \amp 0 \amp 2 \\
-3 \amp 2 \amp 0
\end{array}
\right]\,.
\end{equation*}
Per lo stesso punto si considerino le due giaciture
\begin{equation*}
\vec{n} =
\left[\begin{array}{c}
0 \\ 1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}
\end{array}\right]\,,
\quad
\bar{\vec{n}} =
\left[\begin{array}{c}
1 \\ 0 \\ 0
\end{array}\right]\,.
\end{equation*}
-
Calcolare le trazioni \(\vec{t}_{\vec{n}}\) e \(\vec{t}_{\bar{\vec{n}}}\) e le relative componenti normali e tangenziali.
-
Calcolare tensioni principali e direzioni principali verificando che \(\vec{n}\) è una delle direzioni principali.
Subsection 2.6.7
Si consideri un parallelepipedo delimitato dai piani \(x_1=\pm a\text{,}\) \(x_2=\pm b\) e \(x_3=\pm c\text{,}\) e lo stato tensionale così definito
\begin{equation*}
\mat{\sigma} =
\left[\begin{array}{ccc}
\alpha\left(x_1-x_2\right) \amp \beta x_1^2 x_2 \amp 0 \\
\beta x_1^2 x_2 \amp -\alpha\left(x_1-x_2\right) \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0
\end{array}\right]\,,
\end{equation*}
con \(\alpha\) e \(\beta\) costanti generiche. Si determinino:
-
le tensioni principali e le direzioni principali nel punto di coordinate \((a/2, -b/2, 0)\text{;}\)
-
il vettore di trazione relativo alle tre facce che individuano lo spigolo di coordinate \((a, b, c)\text{.}\)
Subsection 2.6.8
Si consideri il corpo \(\mathcal{B} = \{\vec{x} \,:\; 0 \leq x_i \leq 1\}\text{,}\) soggetto ai carichi di volume \(\vec{b} = \alpha x_3 \vec{e}_3\) ed alle forze di superficie su \(\partial\mathcal{B}\) definite come
\begin{equation*}
\vec{t} =
\left\{\begin{array}{ccl}
x_1 x_2 (1-x_1)(1-x_2)\vec{e}_3, \amp\amp \text{sulla faccia}\; x_3 = 0,\\
\vec{0} \amp\amp \text{su tutte le altre facce}.
\end{array}\right.\,.
\end{equation*}
Si calcoli il valore di \(\alpha\) tale da annullare la somma delle risultanti delle forze di volume e di superficie.
Subsection 2.6.9
Si consideri il corpo \(\mathcal{B} = \{\vec{x} \,:\; 0 \leq x_i \leq 1\}\text{,}\) soggetto alla forza di volume \(\vec{b} = \transp{[0, 0, -\rho g]}\text{,}\) essendo \(\rho\) la densità di massa e \(g\) l’accelerazione di gravità. Si assuma inoltre il seguente campo per il tensore della tensione:
\begin{equation*}
\mat{\sigma} = \left[\begin{array}{ccc}
x_2 \amp x_3 \amp 0 \\
x_3 \amp x_1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp \rho g x_3
\end{array}
\right]\,.
\end{equation*}
Si richiede quanto segue
-
verificare il soddisfacimento delle equazioni locali di equilibrio;
-
calcolare il vettore di trazione su le sei facce che definiscono \(\mathcal{B}\text{;}\)
-
verificare l’equilibrio globale del corpo calcolando la risultante delle forze agenti su \(\mathcal{B}\text{.}\)
