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Paragrafo 3.8 applicazioni del modello di trave inflessa

Sottoparagrafo 3.8.1 mensola soggetta ad una forza all'estremità

Figura 3.8.1.

L'applicazione dell'equazione di equilibrio (3.6.34) allo schema sopra riportato fornisce

\begin{equation*} EJ\,\frac{d^4w}{dx^4} = 0\,. \end{equation*}

Equazione differenziale del 4\(^o\) ordine a cui occorre associare le condizioni al contorno che, nel caso in esame, sono di tipo cinematico all'estremo \(x=0\) e di tipo statico all'estremo \(x=l\text{:}\)

\begin{align*} \amp \func{w}{0} = 0\,,\\ \amp \func{\frac{dw}{dx}}{0} = 0\,,\\ \amp \func{\frac{d M}{dx}}{l} = \frac{d}{dx}\left(-EJ\,\func{\frac{d^2w}{dx^2}}{l}\right) = -EJ\,\func{\frac{d^3w}{dx^3}}{l} = F\,,\\ \amp \func{M}{l} = -EJ\,\func{\frac{d^2w}{dx^2}}{l} = 0\,. \end{align*}

Le seguenti istruzioni MATLAB® consentono il calcolo della soluzione \(\func{w}{x}\) e del relativo momento flettente \(\func{M}{x}\text{.}\) 

syms w(x) EJ F l;
ode = EJ*diff(w,x,4) == 0;
D1w = diff(w,x,1);
D2w = diff(w,x,2);
D3w = diff(w,x,3);
cond1 = w(0) == 0;
cond2 = D1w(0) == 0;
cond3 = -EJ*D3w(l) == F;
cond4 = -EJ*D2w(l) == 0;
conds = [cond1 cond2 cond3 cond4];
sol = dsolve(ode,conds)
M = -EJ*diff(sol,x,2)
Listato 3.8.2.

Lo spostamento dell'asse della trave può essere visualizzato con le seguenti istruzioni MATLAB®. 

syms w(x);
EJ = 1;
F = 1;
l = 1;
w(x)=F/6/EJ*(-x^3+3*l*x^2);

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
wv = w(Xv);
Beam = zeros(1, np+1);
plot(Xv,wv,'r',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'YDir','reverse')
Listato 3.8.3.

Per lo spostamento si ottiene quindi l'atteso andamento cubico

\begin{equation*} \func{w}{x} = \frac{F}{6\,EJ}\left(-x^3+3l\,x^2\right)\,, \end{equation*}

e per il momento flettente si ha invece il seguente andamento lineare

\begin{equation*} \func{M}{x} = F\left(x-l\right)\,. \end{equation*}

Sottoparagrafo 3.8.2 mensola soggetta a carico ripartito costante

Figura 3.8.4.

Per lo schema assegnato l'equazione differenziale (3.6.34) fornisce

\begin{equation*} -EJ\,\frac{d^4w}{dx^4} + q = 0\,, \end{equation*}

dove il carico ripartito ha un valore costante. Anche in questo caso le condizioni al contorno sono di tipo cinematico all'estremo \(x=0\) e di tipo statico all'estremo \(x=l\text{:}\)

\begin{align*} \amp \func{w}{0} = 0\,,\\ \amp \func{\frac{dw}{dx}}{0} = 0\,,\\ \amp \func{\frac{d M}{dx}}{l} = \frac{d}{dx}\left(-EJ\,\func{\frac{d^2w}{dx^2}}{l}\right) = -EJ\,\func{\frac{d^3w}{dx^3}}{l} = 0\,,\\ \amp \func{M}{l} = -EJ\,\func{\frac{d^2w}{dx^2}}{l} = 0\,. \end{align*}

Le sopra elencate equazioni, di equilibrio e relative condizioni al contorno, sono formulabili in MATLAB® come segue consentendo il calcolo della soluzione \(\func{w}{x}\) e del relativo momento flettente \(\func{M}{x}\text{.}\) Si forniscono anche le istruzioni per il plottaggio delle due funzioni. 

syms w(x) EJ q l;
ode = -EJ*diff(w,x,4) + q == 0;
D1w = diff(w,x,1);
D2w = diff(w,x,2);
D3w = diff(w,x,3);
cond1 = w(0) == 0;
cond2 = D1w(0) == 0;
cond3 = -EJ*D3w(l) == 0;
cond4 = -EJ*D2w(l) == 0;
conds = [cond1 cond2 cond3 cond4];
sol(x,EJ,q,l) = dsolve(ode,conds)
M(x,EJ,q,l) = -EJ*diff(sol,x,2)

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
wv = sol(Xv,1,1,1);
Beam = zeros(1, np+1);
plot(Xv,wv,'r',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'YDir','reverse')

Mv = M(Xv,1,1,1);
plot(Xv,Mv,'b',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'YDir','reverse')
Listato 3.8.5.

Sottoparagrafo 3.8.3 trave appoggiata soggetta a carico ripartito costante

Figura 3.8.6.

La soluzione del problema si ottiene sulla base della stessa equazione di equilibrio utilizzata nell'esempio precedente. Occore modificare soltanto le condizioni al contorno che per la trave appoggiata diventano

\begin{align*} \amp \func{w}{0} = 0\,,\\ \amp \func{M}{0} = -EJ\,\func{\frac{d^2w}{dx^2}}{0} = 0\,.\\ \amp \func{w}{l} = 0\,,\\ \amp \func{M}{l} = -EJ\,\func{\frac{d^2w}{dx^2}}{l} = 0\,. \end{align*}

Analogamente anche le istruzioni MATLAB® per il calcolo della soluzione si modificano solo nella parte riguardante le condizioni al contorno. 

syms w(x) EJ q l;
ode = -EJ*diff(w,x,4) + q == 0;
D1w = diff(w,x,1);
D2w = diff(w,x,2);
D3w = diff(w,x,3);
cond1 = w(0) == 0;
cond2 = -EJ*D2w(0) == 0;
cond3 = w(l) == 0;
cond4 = -EJ*D2w(l) == 0;
conds = [cond1 cond2 cond3 cond4];
sol(x,EJ,q,l) = dsolve(ode,conds)
M(x,EJ,q,l) = -EJ*diff(sol,x,2)

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
wv = sol(Xv,1,1,1);
Beam = zeros(1, np+1);
plot(Xv,wv,'r',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'YDir','reverse')

Mv = M(Xv,1,1,1);
plot(Xv,Mv,'b',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'YDir','reverse')
Listato 3.8.7.