Introduzione alla meccanica dei solidi

Prefazione Prefazione

Negli ultimi anni e nelle scuole d'ingegneria è divenuto ormai abbastanza consueto fornire un corso introduttivo alla Meccanica dei solidi, più nota in Italia come Scienza delle costruzioni, comprendente due tematiche abbastanza distinte: la Meccanica del continuo e la Statica. La prima studia i corpi deformabili mentre la seconda, nelle scuole di ingegneria ed architettura, abbraccia una serie di argomenti che vanno ben oltre l'equilibrio dei sistemi rigidi a cui la parola “Statica” si riferisce. Coprire, anche solo a livello introduttivo, ambedue le tematiche all'interno di un corso semestrale attingendo al vasto numero di testi e risorse web comunque già disponibili sulle due tematiche, darebbe luogo ad un percorso labirintico per lo studente. Studente che si troverebbe a confrontarsi con testi di Meccanica del continuo i quali, per linguaggio scelto, dedicano un'ampia parte alle basi di algebra e calcolo tensoriale o, per la parte di Statica, con testi che utilizzano un liguaggio e metodologie completamente differenti collocabili nell'ambito della Meccanica delle strutture.

Le precedenti considerazioni mi hanno indotto ad elaborare un testo, certamente ancora in fase sperimentale, il quale con un linguaggio il più possibile uniforme fosse da supporto ad un corso semestrale su due tematiche che, dal punto di vista didattico e non solo, hanno due tradizioni abbastanze distinte.

Altro aspetto centrale della proposta è costituito dal supporto scelto, ovvero un interfaccia web disponibile online. L'interfaccia web consente di utilizzare diverse modalità (testo tradizionale, brevi video lezioni, animazioni, riferimenti a risorse web, etc.) per proporre gli argomenti trattati e di utilizzare in maniera naturale strumenti digitali sia per l'elaborazione delle formulazioni sia per lo svolgimento degli esercizi.

Per quanto riguarda quest'ultimo aspetto, il testo propone l'utilizzo di MATLAB come strumento di elaborazione simbolica e numerica consentendo allo studente di concentrarsi solo sulla formulazione dei modelli e delle operazioni necessarie, delegando il loro svolgimento a MATLAB. A mio parere, l'insegnamento della Meccanica dei solidi deve sia prescindere da conoscenze da ritenere apprese in corsi precedenti, sia stimolare l'utilizzo di strumenti informatici che oramai costituiscono il bagaglio di base di qualsiasi ingegnere in termini di linguaggio computazionale da conoscere e di strumenti di calcolo automatico da sapere utilizzare nel lavoro quotidiano.

Da dove viene l'esigenza di conoscere un linguaggio computazionale e di sapere utilizzare degli strumenti di calcolo automatico? Probabilemente tale esigenza non è affatto una peculiarità della Meccanica dei solidi visto che accomuna tutte le discipline collocabili nell'alveo della matematica applicata. Ma limitiamo il nostro sguardo a ciò che ci interessa maggiormente, ovvero come svolge il suo lavoro un ingegnere. Cinquanta anni fa un neolaureato in ingegneria era bravissimo ad utilizzare un regolo calcolatore ovvero un calcolatore meccanico analogico di tipo manuale. Ma adesso grazie alla rivoluzione digitale, cominciata negli 80 con l'avvento dei primi personal computer e tuttora in atto, si ha la possibilità di tenere in una mano una potenza di calcolo che nel 1969 è stata utilizzata dalla NASA per spedire l'uomo sulla luna. A completamento di uno scenario drasticamente cambiato, la diffussione capillare di internet avvenuta nell'ultimo decennio ha fatto il resto aprendo la porta all'“internet of things”.

Tornando al MATLAB, acronimo di MATrix LABoratory, il software nasce¹ espressamente come strumento per la manipolazione automatica di matrici ma negli anni si arricchito di tali e tante funzionalità che addesso è più corretto definirlo come segue: “a multi-paradigm numerical computing environment and proprietary programming language developed by MathWorks” (fonte Wikipedia). Quindi, essendo un argomento di per sé vastissimo, nel presente testo non viene fornita alcuna informazione sul suo utilizzo. Tali informazioni sono disponbili, sotto il formato di tutorial e di online help, sul sito del fornitore di MATLAB, fonte che conviene considerare la più attendibile ed autorevole. Le applicazioni e gli esercizi forniti in MATLAB nel testo quindi servono ad acquisire un linguaggio computazionale e ad imparare ad utilizzare uno strumento di calcolo automatico, certamente non l'unico disponibile (Maple, Mathematica, Octave, Sage, etc.), adeguati ad uno studio attuale della Meccanica dei solidi.

Il materiale qui proposto è composto dai seguenti capitoli di cui i primi tre trattano argomenti di Meccanica del continuo e i due successivi sono dedicati ai sistemi rigidi.

• Il primo capitolo affronta la cinematica dei corpi deformabili definendo gli strumenti di base per la descizione della trasformazione geometrica dei corpi indipendentemente dalle cause che lo hanno prodotto. La tematica viene utilizzata come “palestra” per familiarizzare con tutti gli strumenti matematici necessari alla Meccanica dei solid in generale. Si evita però una descrizione sistematica, che molto spesso diventa un elenco, delle nozioni necessarie di algebra e calcolo tensoriale. Ma i singoli argomenti di algebra o calcolo vengono richiamati mantendendo il più possibile il contatto con l'argemento di cinematica per il quale il richiamo è richiesto. Come supporto di tali richiami si è scelto di utilizzare brevi video lezioni più fruibili, in prima battuta, delle descrizioni fornite nei testi di riferimento di Meccanica del continuo o Matematica a cui lo studente può sempre attingere per approfondimenti.
• Nel secondo capitolo viene precisata la nozione di ipotesi di continuità alla base della Meccanica del continuo per passare, successivamente, alla trattazione dei corpi sotto l'azione di agenti esterni. Per tale via si arriva alla definizione del tensore della tensione di Cauchy e delle relative equazioni di equilibrio. Si stabilisce anche, tramite il principiio dei lavori, il legame esistente tra la descrizione statica dei corpi e la descrizione cinematica presentata nel primo capitolo.
• Nel terzo capitolo si verifica che le equazioni presentate nei capitolo precedenti non bastano a risolvere il problema di un corpo deformabile, comunque vincolato, soggetto ad azioni assegnate. Occorre aggiungere al modello un'informazione ulteriore di tipo sperimentale che lega tensione e deformazione in un generico punto del corpo. A tal fine si utilizza come modello di riferimento la legge di Hooke generalizzandola per gli stati pluriassiali che in generale insorgono all'interno dei corpi. Definita quindi la formulazione generale del problema elastico, si discute anche la riduzione del modello 3D al più semplice e maneggevole modello monodimensionale di trave.
• Nel quarto capitolo la cinematica presentata nel primo viene applicata ai sistemi rigidi consentendo di sperimentare in un contesto semplificato la descizione cinematica dei corpi. Vengono discussi i principali tipi di vincolo applicabili ad un corpo e si individua una procedura sistematica utilizzabile per l'analisi cinematica dei sistemi di corpi rigidi.
• Il quinto capitolo è dedicato alla discussione dei sistemi rigidi da un punto di vista statico. Le relative equazioni di equilibrio, la nozione di reazione vincolare e di schema di corpo libero consentono di individuare una procedura sistematica per l'analisi statica dei sistemi di corpi rigidi.

Per concludere si osserva che l'ordine dato ai capitoli, più che una sequenza “corretta” di lettura, riflette la necessità di raggrupparli rispetto alle due tematiche meccanica del continuo e sistemi rigidi, tematiche non esattamente distinte ma piuttosto accesorie l'una per la comprensione dell'altra. Un ordine alternativo di lettura potrebbe essere 1, 4, 5, 2 e 3. Tale ordine, assumendo comunque come propedeutico il primo capitolo, consente di studiare le idee di base rispetto ai più semplici sistemi rigidi, capitoli 4 e 5, per arrivare poi alla formulazione del problema elastico attraverso i capitoli 2 e 3.