Vai all'indice generale

Paragrafo 2.5 principio dei lavori virtuali

A partire delle equazioni indefinite di equilibrio (2.3.10) è possibile pervenire alla definizione del lavoro derivante dall'ambiente circostante, lavoro esterno, ed il lavoro effettuato dalle forze interne al corpo, lavoro interno. Si ottiene un principio di uguaglianza dei due lavori effettuati noto come Principio dei lavori virtuali. Tale risultato viene ottenuto riformulando le equazioni differenziali (2.3.10) in un formato integrale. Operazione che può essere interpretata come una riformulazione alternativa delle equazioni differenziali di partenza ma che porta anche ad un risultato che ha l'importante interpretazione meccanica di cui si è detto.

Sottoparagrafo 2.5.1 dalla formulazione differenziale alla formulazione integrale

Si moltiplichi scalarmente l'equazione (2.3.10) per un campo vettoriale generico \(\vec{v}\) e si integri sul corpo in esame \(\body\) (per la continuità tale operazione potrebbe essere effettuata su qualsiasi sottoinsieme di \(\body\)). Dal momento che l'equazione (2.3.10) deve essere vera per qualsiasi \(\vec{x}\text{,}\) allora

\begin{equation} \int_{\body} \left( \text{div}\tens{\sigma} + \vec{b} \right) \cdot \vec{v} \,dv = 0\,,\quad \forall\vec{v}\,,\label{continuum_plv_1_eq}\tag{2.5.1} \end{equation}

dove \(\vec{v}\) è un campo vettoriale continuo e differenziabile definito sul corpo \(\body\text{.}\) Per quanto già mostrato nel video sulla divergenza è possibile scrivere

\begin{equation*} \text{div}\left(\tens{\sigma}\vec{v}\right) = \text{div}\tens{\sigma} \cdot \vec{v} + \tens{\sigma} : \tens{\nabla v}\,, \end{equation*}

da cui si ricava

\begin{equation*} \text{div}\tens{\sigma} \cdot \vec{v} = \text{div}\left(\tens{\sigma}\vec{v}\right) - \tens{\sigma} : \tens{\nabla v} \,. \end{equation*}
Osservazione 2.5.1. osservazione importante.

Nei passaggi precedenti vengono trasferite derivate dal tensore \(\tens{\sigma}\) al campo di spostamento \(\vec{v}\text{.}\) Le derivate su \(\tens{\sigma}\) sono effettuate rispetto alle coordinate \(x_1\text{,}\) \(x_2\) e \(x_3\) relative alla configurazione corrente, pertanto in tale contesto per gradiente dello spostamento si intende

\begin{equation} \mat{\nabla v} = \left[\begin{array}{ccc} \regulardiff{u_1}{x_1} \amp \regulardiff{u_1}{x_2} \amp \regulardiff{u_1}{x_3}\\ \regulardiff{u_2}{x_1} \amp \regulardiff{u_2}{x_2} \amp \regulardiff{u_2}{x_3}\\ \regulardiff{u_3}{x_1} \amp \regulardiff{u_3}{x_2} \amp \regulardiff{u_3}{x_3} \end{array}\right]\,,\tag{2.5.2} \end{equation}

espressione da non confondere con l'equazione simile (1.4.5).

La equazione integrale di partenza può quindi essere riscritta come segue

\begin{equation} \int_{\body} \left(\text{div}\left(\tens{\sigma}\vec{v}\right) - \tens{\sigma} : \tens{\nabla v} + \vec{b} \cdot \vec{v} \right) \,dv= 0\,,\quad \forall\vec{v}\,.\label{continuum_plv_2_eq}\tag{2.5.3} \end{equation}

Il primo integrale, applicando in successione Teorema della divergenza e Teorema della tensione di Cauchy, diventa

\begin{equation*} \int_{\body} \text{div}\left(\tens{\sigma}\vec{v}\right)\, dv = \int_{\partial\body} \tens{\sigma}\vec{v} \cdot \vec{n}\,ds = \int_{\partial\body} \vec{v} \cdot \tens{\sigma}\vec{n}\,ds = \int_{\partial\body} \vec{t} \cdot \vec{v}\,ds \,. \end{equation*}

Quindi l'equazione (2.5.3) diventa

\begin{equation} \int_{\partial\body} \vec{t} \cdot \vec{v}\,ds - \int_{\body} \tens{\sigma} : \tens{\nabla v}\,dv + \int_{\body} \vec{b} \cdot \vec{v} \,dv = 0\,,\quad \forall\vec{v}\,.\label{continuum_plv_3_eq}\tag{2.5.4} \end{equation}

Per la decomposizione di \(\tens{\nabla v}\)

\begin{equation*} \tens{\nabla v} = \text{sym}\tens{\nabla v} + \text{skew}\tens{\nabla v} \end{equation*}

e la simmetria di \(\tens{\sigma}\) si ha

\begin{equation*} \tens{\sigma} : \tens{\nabla v} = \tens{\sigma} : \text{sym}\tens{\nabla v}\,. \end{equation*}

Si arriva quindi alla seguente espressione finale della forma integrale delle equazioni indefinite di equilibrio (2.3.10):

\begin{equation} \int_{\partial\body} \vec{t} \cdot \vec{v}\,ds + \int_{\body} \vec{b} \cdot \vec{v} \,dv = \int_{\body} \tens{\sigma} : \text{sym}\tens{\nabla v}\,dv \,,\quad \forall\vec{v}\,.\label{continuum_plv_eq}\tag{2.5.5} \end{equation}

Sottoparagrafo 2.5.2 interpretazione meccanica

  • Il campo vettoriale \(\vec{v}\) è interpretabile sia come campo di spostamento che subisce effettivamente il corpo sotto l'azione dei carichi assegnati sia come variazione generica del campo di spostamento effettivo ovvero come campo di spostamento virtuale.
  • Al primo membro dell'eguaglianza (2.5.5) compare il lavoro esercitato dall'ambiente circostante sul corpo \(\body\text{,}\) ovvero il lavoro esterno.
  • Al secondo membro dell'eguaglianza (2.5.5) compare il lavoro interno, ovvero il lavoro effettuato dal tensore della tensione \(\tens{\sigma}\text{.}\)
  • Senza la necessità di effettuare alcuna assunzione preliminare, si perviene alla definizione dell'ente cinematico \(\text{sym}\tens{\nabla v}\) su cui compie lavoro il tensore della tensione \(\tens{\sigma}\text{.}\) Si amplia così il significato della parte simmetrica del gradiente dello spostamento che, si veda il capitolo sulla cinematica, assume anche il ruolo di tensore della deformazione infinitesima.
  • Quanto ottenuto è esprimibile come segue: "Dato un corpo, o un suo sottoinsieme, in equilibrio con i carichi esterni applicati, ovverro è soddisfatta l'equazione (2.3.10), allora è anche valida l'equazione (2.5.5) che costituisce il Principio dei lavori virtuali". Inoltre l'equazione (2.3.10) non è solo condizione necessaria per la validità del Principio dei lavori virtuali ma anche sufficiente.
  • Nel caso in cui il campo di spostamento \(\vec{v}\) coincida con un campo di spostamento rigido \(\vec{r}\text{,}\) allora la condizione \(\vec{v} = \vec{r}\) fornisce
    \begin{equation*} \text{sym}\tens{\nabla v} = \text{sym}\tens{\nabla r} = \tens{0} \end{equation*}
    e quindi il Principio dei lavori virtuali si riduce a
    \begin{equation} \int_{\partial\body} \vec{t} \cdot \vec{r}\,ds + \int_{\body} \vec{b} \cdot \vec{r} \,dv = 0 \,,\quad \forall\vec{r}\,.\label{continuum_rigid_plv_eq}\tag{2.5.6} \end{equation}
    Tale risultato stabilisce che i carichi applicati, se in equilibrio, compiono lavoro nullo su qualsiasi moto rigido.
  • In campo dinamico il campo vettoriale \(\vec{v}\) assume il significato di campo delle velocità. Pertanto non si parlerà di lavori ma di potenza esterna e potenza interna. Inoltre la potenza esterna eguaglierà la somma di potenza interna e variazione di energia cinetica.