Introduzione alla meccanica dei solidi

Sottoparagrafo 5.9.1

Si consideri il seguente schema di corpo di libero di cui è facile verificare il soddisfacimento delle condizioni di equilibrio.

Risultano chiari dallo schema i valori assunti dalle sollecitazioni per \(x=0\text{,}\) ovvero

Utilizzando quindi gli integrali generali si ottenendo le seguenti espressioni delle componenti di sollecitazione in funzione dell'ascissa \(x\) posta lungo l'asse della trave

% diagramma dello sforzo normale
syms N(x, F);
N(x,F) = F;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Nv = N(Xv, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Nv,'g',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del taglio
syms T(x,F);
T(x,F) = F;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Tv = T(Xv, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Tv,'b',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del momento flettente
syms M(x,F,l);
M(x,F,l) = -F*l + F*x;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Mv = M(Xv, 1, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Mv,'r',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])
set(gca, 'YDir','reverse')

Si ottengono in tal modo i seguenti grafici relativi a sforzo normale (verde), taglio (blu) e momento flettente (rosso).

Si noti come la rappresentazione del momento flettente venga effettuata cambiando il verso dell'asse verticale del diagramma. Tale scelta viene utilizzata nella pratica professionale per "visualizzare" quale dei due lembi della trave, inferiore o superiore, è soggetto a trazione.

Sottoparagrafo 5.9.2

Si consideri il seguente schema relativo ad una mensola soggetta ad un carico ripartito.

Lo schema di corpo libero e il relativo calcolo delle reazioni vincolari forniscono il seguente risultato.

Informazione utilizzabile nella scrittura degli integrali generali (5.8.13), (5.8.14), (5.8.15), ed ottenere la seguente espressione delle sollecitazioni lungo l'asse della trave.

% diagramma dello sforzo normale
syms N(x);
N(x) = 0;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Nv = N(Xv);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Nv,'g',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del taglio
syms T(x,q,l);
T(x,q,l) = -q*x+q*l;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Tv = T(Xv, 1, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Tv,'b',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del momento flettente
syms M(x,q,l);
M(x,q,l) = -q*l^2/2 + q*l*x - q*l*x^2/2;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Mv = M(Xv, 1, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Mv,'r',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])
set(gca, 'YDir','reverse')

Sottoparagrafo 5.9.3

Si consideri la seguente trave appoggiata soggetta ad un carico ripartito.

Lo schema di corpo libero e il relativo calcolo delle reazioni vincolari forniscono il seguente risultato.

La soluzione ottenuta dal calcolo delle reazioni vincolari consente la scrittura delle seguenti condizioni relative all'estremo \(A\) della trave

condizioni che consentono di esprimere le componenti di sollecitazione lungo l'asse della trave:

% diagramma dello sforzo normale
syms N(x);
N(x) = 0;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Nv = N(Xv);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Nv,'g',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del taglio
syms T(x,q,l);
T(x,q,l) = -q*x+q*l/2;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Tv = T(Xv, 1, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Tv,'b',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del momento flettente
syms M(x,q,l);
M(x,q,l) = q*l/2*x - q*l*x^2/2;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Mv = M(Xv, 1, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Mv,'r',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])
set(gca, 'YDir','reverse')

Sottoparagrafo 5.9.4

Si consideri la seguente trave appoggiata soggetta ad una forza concentrata in mezzeria.

Si riporta anche in questo caso il diagramma di corpo libero utilizzato per il calcolo delle reazioni vincolari insieme al risultato ottenuto dal calcolo.

Rispetto ai casi precedenti, il caso in esame è comunque differente poiché la forza concentrata in mezzeria determina una discontinuità del taglio \(T(x)\) e quindi, essendo \(dM/dx=T\text{,}\) anche una discontinuità della derivata del momento flettente. Pertanto gli integrali generali (5.8.13), (5.8.14) e (5.8.15) non sono applicabili direttamente al tratto di trave \(AB\) ma devono essere applicati separatamente ai tratti di trave \(AC\) e \(CB\text{.}\) In tal modo si ottengono due rappresentazioni delle sollecitazioni \(T(x)\) e \(M(x)\text{,}\) una rappresentazione valida per il tratto \(AC\) ed un'altra per il tratto \(CB\text{.}\)

• Tratto \(AC\text{,}\) \(0 \leq x \leq l/2\text{:}\)
  \begin{align*} N_{AC}(0) &= 0\,,\\ T_{AC}(0) &= F/2\,,\\ M_{AC}(0) &= 0\,. \end{align*}
  Da cui si ottiene
  \begin{align*} N_{AC}(x) &= 0\,,\\ T_{AC}(x) &= F/2\,,\\ M_{AC}(x) &= F/2\,x\,. \end{align*}
• Tratto \(CB\text{,}\) \(0 \leq x \leq l/2\text{:}\)
  \begin{align*} N_{CB}(0) &= 0\,,\\ T_{CB}(0) &= T_{AC}(l/2) - F=F/2-F=-F/2\,,\\ M_{CB}(0) &= M_{AC}(l/2) = Fl/4\,. \end{align*}
  Da cui si ottiene
  \begin{align*} N_{CB}(x) &= 0\,,\\ T_{CB}(x) &= -F/2\,,\\ M_{CB}(x) &= -F/2\,x + Fl/4\,. \end{align*}

% diagramma del taglio
syms T_ac(x,F) T_cb(x,F);
T_ac(x,F) = F/2;
T_cb(x,F) = -F/2;

np = 50;
Xv = 0:0.5/np:0.5;
Tv_ac = T_ac(Xv, 1);
Tv_cb = T_cb(Xv, 1);

Xv_ac = Xv;
Xv_cb = 0.5:0.5/np:1;
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv_ac,Tv_ac,'b', Xv_ac,Beam,'k', ...
Xv_cb,Tv_cb,'b', Xv_cb,Beam,'k', 'LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del momento flettente
syms M_ac(x,F) M_cb(x,F,l);
M_ac(x,F) = F/2*x;
M_cb(x,F,l) = -F/2*x+F*l/4;

np = 50;
Xv = 0:0.5/np:0.5;
Mv_ac = M_ac(Xv, 1);
Mv_cb = M_cb(Xv, 1, 1);

Xv_ac = Xv;
Xv_cb = 0.5:0.5/np:1;
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv_ac,Mv_ac,'r', Xv_ac,Beam,'k', ...
Xv_cb,Mv_cb,'r', Xv_cb,Beam,'k', 'LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])
set(gca, 'YDir','reverse')