calcolo e diagrammi delle sollecitazioni

Section 5.9 calcolo e diagrammi delle sollecitazioni

L’analisi statica presentata nelle sezioni precedenti consente di valutare le reazioni vincolari per un sistema isostatico. A partire da questa informazione e utilizzando gli integrali generali (5.8.13), (5.8.14) e (5.8.15) è possibile procedere con il calcolo delle sollecitazioni per sistemi di travi soggetti a forze/coppie generiche e carichi ripartiti al più costanti (per carichi ripartiti di tipo generico occorre utilizzare le (5.8.10), (5.8.11) e (5.8.12)).

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La procedura di calcolo delle sollecitazioni verrà illustrata discutendo alcuni esempi ed utilizzando MATLAB® per lo svolgimento dei calcoli richiesti e la visualizzazione dei risultati. Data la semplicità degli schemi considerati il calcolo esplicito delle reazioni vincolari viene omesso.

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Subsection 5.9.1

Si consideri il seguente schema di corpo di libero di cui è facile verificare il soddisfacimento delle condizioni di equilibrio.

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Risultano chiari dallo schema i valori assunti dalle sollecitazioni per \(x=0\text{,}\) ovvero

\begin{equation*} N(0) = F\,,\quad T(0) = -F\,,\quad M(0) = F l\,. \end{equation*}

Utilizzando quindi gli integrali generali si ottenendo le seguenti espressioni delle componenti di sollecitazione in funzione dell’ascissa \(x\) posta lungo l’asse della trave

\begin{equation*} N(x) = F\,,\quad T(x) = -F\,,\quad M(x) = F l - F\,x\,. \end{equation*}

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Le sollecitazioni così ottenute possono essere visualizzate utilizzando le seguenti istruzioni MATLAB®.

Listing 5.9.2.

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$ % diagramma dello sforzo normale
syms N(x, F);
N(x,F) = F;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Nv = N(Xv, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Nv,'g',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del taglio
syms T(x,F);
T(x,F) = -F;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Tv = T(Xv, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Tv,'b',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del momento flettente
syms M(x,F,l);
M(x,F,l) = F*l - F*x;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Mv = M(Xv, 1, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Mv,'r',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])

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Si ottengono in tal modo i seguenti grafici relativi a sforzo normale (verde), taglio (blu) e momento flettente (rosso).

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Subsection 5.9.2

Si consideri il seguente schema relativo ad una mensola soggetta ad un carico ripartito.

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Lo schema di corpo libero e il relativo calcolo delle reazioni vincolari forniscono il seguente risultato.

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Informazione utilizzabile nella scrittura degli integrali generali (5.8.13), (5.8.14), (5.8.15), ed ottenere la seguente espressione delle sollecitazioni lungo l’asse della trave.

\begin{equation*} N(x) = 0\,,\quad T(x) = q\,x - ql \,,\quad M(x) = ql^2/2 - ql\,x + q\,x^2/2 \,. \end{equation*}

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Le sollecitazioni così ottenute possono essere visualizzate utilizzando le seguenti istruzioni MATLAB®.

Listing 5.9.5.

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$ % diagramma dello sforzo normale
syms N(x);
N(x) = 0;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Nv = N(Xv);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Nv,'g',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del taglio
syms T(x,q,l);
T(x,q,l) = q*x-q*l;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Tv = T(Xv, 1, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Tv,'b',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del momento flettente
syms M(x,q,l);
M(x,q,l) = q*l^2/2 - q*l*x + q*l*x^2/2;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Mv = M(Xv, 1, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Mv,'r',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])

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Subsection 5.9.3

Si consideri la seguente trave appoggiata soggetta ad un carico ripartito.

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Lo schema di corpo libero e il relativo calcolo delle reazioni vincolari forniscono il seguente risultato.

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La soluzione ottenuta dal calcolo delle reazioni vincolari consente la scrittura delle seguenti condizioni relative all’estremo \(A\) della trave

\begin{equation*} N(0) = 0\,,\quad T(0) = -ql/2\,,\quad M(0) = 0\,, \end{equation*}

condizioni che consentono di esprimere le componenti di sollecitazione lungo l’asse della trave:

\begin{equation*} N(x) = 0\,,\quad T(x) =- ql/2 + q\,x \,,\quad M(x) = -ql/2\,x + q\,x^2/2 \,. \end{equation*}

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Le istruzioni MATLAB® da utilizzare per diagrammare le componenti di sollecitazione sono formulabili come di seguto riportato.

Listing 5.9.8.

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$ % diagramma dello sforzo normale
syms N(x);
N(x) = 0;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Nv = N(Xv);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Nv,'g',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del taglio
syms T(x,q,l);
T(x,q,l) = -q*l/2 + q*x;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Tv = T(Xv, 1, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Tv,'b',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del momento flettente
syms M(x,q,l);
M(x,q,l) = -q*l/2*x + q*l*x^2/2;

np = 100;
Xv = 0:1/np:1;
Mv = M(Xv, 1, 1);
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv,Mv,'r',Xv,Beam,'k','LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])

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Subsection 5.9.4

Si consideri la seguente trave appoggiata soggetta ad una forza concentrata in mezzeria.

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Si riporta anche in questo caso il diagramma di corpo libero utilizzato per il calcolo delle reazioni vincolari insieme al risultato ottenuto dal calcolo.

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Rispetto ai casi precedenti, il caso in esame è comunque differente poiché la forza concentrata in mezzeria determina una discontinuità del taglio \(T(x)\) e quindi, essendo \(dM/dx=T\text{,}\) anche una discontinuità della derivata del momento flettente. Pertanto gli integrali generali (5.8.13), (5.8.14) e (5.8.15) non sono applicabili direttamente al tratto di trave \(AB\) ma devono essere applicati separatamente ai tratti di trave \(AC\) e \(CB\text{.}\) In tal modo si ottengono due rappresentazioni delle sollecitazioni \(T(x)\) e \(M(x)\text{,}\) una rappresentazione valida per il tratto \(AC\) ed un’altra per il tratto \(CB\text{.}\)

Tratto \(AC\text{,}\) \(0 \leq x \leq l/2\text{:}\)
\begin{align*} N_{AC}(0) &= 0\,,\\ T_{AC}(0) &= -F/2\,,\\ M_{AC}(0) &= 0\,. \end{align*}
Da cui si ottiene
\begin{align*} N_{AC}(x) &= 0\,,\\ T_{AC}(x) &= -F/2\,,\\ M_{AC}(x) &= -F/2\,x\,. \end{align*}

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Tratto \(CB\text{,}\) \(0 \leq x \leq l/2\text{:}\)
\begin{align*} N_{CB}(0) &= 0\,,\\ T_{CB}(0) &= T_{AC}(l/2) + F=-F/2+F=F/2\,,\\ M_{CB}(0) &= M_{AC}(l/2) = -Fl/4\,. \end{align*}
Da cui si ottiene
\begin{align*} N_{CB}(x) &= 0\,,\\ T_{CB}(x) &= F/2\,,\\ M_{CB}(x) &= F/2\,x - Fl/4\,. \end{align*}

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Listing 5.9.11.

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$ % diagramma del taglio
syms T_ac(x,F) T_cb(x,F);
T_ac(x,F) = -F/2;
T_cb(x,F) = F/2;

np = 50;
Xv = 0:0.5/np:0.5;
Tv_ac = T_ac(Xv, 1);
Tv_cb = T_cb(Xv, 1);

Xv_ac = Xv;
Xv_cb = 0.5:0.5/np:1;
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv_ac,Tv_ac,'b', Xv_ac,Beam,'k', ...
Xv_cb,Tv_cb,'b', Xv_cb,Beam,'k', 'LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])


% diagramma del momento flettente
syms M_ac(x,F) M_cb(x,F,l);
M_ac(x,F) = -F/2*x;
M_cb(x,F,l) = F/2*x-F*l/4;

np = 50;
Xv = 0:0.5/np:0.5;
Mv_ac = M_ac(Xv, 1);
Mv_cb = M_cb(Xv, 1, 1);

Xv_ac = Xv;
Xv_cb = 0.5:0.5/np:1;
Beam = zeros(1, np+1);

plot(Xv_ac,Mv_ac,'r', Xv_ac,Beam,'k', ...
Xv_cb,Mv_cb,'r', Xv_cb,Beam,'k', 'LineWidth',2)
set(gca, 'Ylim', [-1 1])

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